tÜ)
i/tWW
Vuur
Om een passend model te vinden voor de atmosferische invloed in
interferogrammen dient rekening gehouden te worden met een aantal belangrijke
aspecten. De atmosfeer is een turbulent medium, waardoor bepaalde elementen
uit de turbulentieleer kunnen worden toegepast [8][10]. Dit uit zich vooral in
schalingsgedrag. De driedimensionale refractiviteitsverdeling kan, binnen een
bepaalde range, gezien worden als schaal-invariant, ofwel fractaal. Een fractale
verdeling kenmerkt zich door het ontbreken van een karakteristieke schaal en
kan worden gekarakteriseerd door haar fractale dimensie D [9]. Figuur 9a is een
schets van de driedimensionale refractiviteitsverdeling. In figuur 9b is een
tweedimensionale verticale doorsnede hiervan gegeven, waarin een golffront de
positie van punten met gelijke fase aangeeft. Nadat de signalen zich hebben
voortgeplant door het turbulente medium is elk punt in het golffront proportioneel
met de refractiviteitsverdeling die het onderweg is tegengekomen vertraagd.
De fractale dimensie kan nu worden gebruikt om de gladheid van het golffront te
beschrijven. Vooreen homogene, isotrope refractiviteitsverdeling is duidelijk dat
de hoeveelheid signaalvertraging gelijk is voor elk punt binnen het gebied. In dat
geval wordt het beschreven door een plat vlak en is de fractale dimensie D2=2
identiek aan de gebruikelijke (topologische) dimensie. In figuur 10 worden drie
karakteristieke fractale simulaties getoond, corresponderend met witte ruis; 1/f-
ruis, waarbij f de frequentie is en fractionele Brown beweging (fBm). De linker
kolom is het één-dimensionale equivalent van de middelste kolom, met de
bijbehorende fractale dimensie D. voor een profiel. De middelste kolom geeft de
tweedimensionale verdeling, met tractale dimensie D2. Belangrijk is op te merken
hoe een lagere fractale dimensie zorgt voor een gladder oppervlak.
1D energie spectrum
luo
1D energie spectrum
1D energie spectrum
Figuur 10: Simulaties voor karakteristieke fractale modellen: witte ruis1 /f-ruis en fractionele
Brown beweging.
De rechter kolom van figuur 10 geeft een derde, equivalente beschrijving van
het signaal, waarbij gebruik gemaakt wordt van het energie-spectrum: het
kwadraat van de Fourier-getransformeerde data. Een schaal-invariante verdeling
kan worden beschreven met een energie-spectrum P(k) dat een zogenaamde
"power-law" eigenschap heeft, met P(k) k waarbij 1 /k de golflengte is, in dit
geval de ruimtelijke afstand in meters. Uit de figuur blijkt dat de fractale dimensie
van de 2D afbeeldingen gerelateerd is aan de exponent/? met D (7-/? )/2.
Hierdoor kunnen we de fractale dimensie van een signaal bepalen door het
energie-spectrum te analyseren.
Tatarski voorspelde theoretisch dat voor volledig ontwikkelde 3D-turbulentie
Frac. Dim. 2.5
Witte ruis
e
Frac. Dim. 2
1/f ruis
Frac. Dim. 1.5
E
Qü
Frac. Dim. 3.5
183
