«>-(ó2) <-M»)
(w-f.0)
waarden voor de coëfficiënten) en ongelijkheden in
het voorwaardenmodel schijnen oplossingsmetho
den te bestaan. Waarschijnlijk berusten zij op een
zelfde gedachtengang als die ik voor het lineair
programmeren heb geschetst: een stapsgewijze ver
betering. Moeilijkheden verwacht ik wel bij waarde-
functies als in afb. 8 en vooral 9. Daar is het lang
niet zeker dat er tussen twee oplossingen steeds een
pad bestaat waarop de waardefunctie voortdurend
toe- of afneemt. Misschien moet men in dit geval
beginnen in het zadelpunt.
Een bijzonder geval van kwadratisch programmeren
is de kleinste kwadratenmethode; daarbij treden uit
sluitend gelijkheden als voorwaarden op, en de
determinant van de coëfficiënten in de waarde
functie is positief. De oplossing is dan in principe
te vinden d.m.v. differentiëren of met meer verfijnde
rekenmethoden, zoals de formules van prof. Baarda
(gLl )(0°')(«})*
(I(giJ)(u))\gXQ)(-f)
Uit de voorwaarden (1) en (2) (de laatste met een
-teken) en de waardefunctie leiden we af:
\o 0 y
waaruit volgt
(2i,4,4i)
wat als optimale oplossing voor xAxB, xcde
minimale uitkomst voor de waardefunctie geeft:
F 99. Zie afb. 6.
4.4 Kleinste kwadratenmethode naast lineaire
programmering
Na het voorgaande zal duidelijk zijn geworden dat
er nogal wat verschillen zijn tussen de kleinste
kwadratenmethode en lineaire programmering.
Punt van overeenkomst is, dat beide uitgaan van
een lineair (of gelineariseerd) voorwaardenmodel,
wat slechts één soort is van alle mogelijke voor-
waardenmodellen. De kleinste kwadratenmethode
kent uitsluitend gelijkheden als voorwaarden, terwijl
bij lineair programmeren, en bij kwadratisch pro
grammeren in het algemeen, ook ongelijkheden zijn
toegelaten.
Elke methode heeft zijn eigen toepassingsgebied.
Landmeetkundige optimaliseringsproblemen kan
men vaak oplossen met de kleinste kwadraten
methode, veel economische problemen (die ook in
de geodesie voorkomen!) kunnen met lineaire en
kwadratische programmering worden behandeld.
Belangrijk voor de in- en uitschakeling zijn de spe
cifieke eigenschappen van elke methode, die ik hier
kort zal opsommen:
- kwadratische waardefunctie
- onbegrensde oplossingsruimte, waardoor nauwe
lijks kans op strijdige voorwaarden
- optimale oplossing in principe te vinden door dif
ferentiëren
- slechts één optimale oplossing „midden in de op
lossingsruimte"
- alle variabelen in optimale oplossing 0
- relatief geringe gevoeligheid van de optimale op
lossing voor kleine wijzigingen in de coëfficiënten
van de waardefunctie.
- lineaire waardefunctie
- begrensde oplossingsruimte, waardoor grote kans
op strijdige voorwaarden ofwel helemaal geen op
lossing
- alle variabelen niet-negatief (is door transformatie
te verwezenlijken)
- optimale oplossing niet te vinden door differen
tiëren, maar door stapsgewijze verbetering
- vaak oneindig veel optimale oplossingen
- minstens één optimale oplossing, op een hoek
punt van de oplossingsruimte
- in optimale oplossing (mits dit een basisoplossing
is) maximaal evenveel variabelen 7^ 0 als er voor
waarden zijn
- sprongsgewijze veranderingen in de optimale op
lossing bij kleine wijzigingen in de coëfficiënten
van de waardefunctie.
KLEINSTE KWADRATENMETHODE
LINEAIRE PROGRAMMERING
ngt 73
9
