De laatst genoemde eigenschap behoeft enige toe
lichting. Bij de voorwaarden
Xa+*b xC
xA 0 xB 0 xc 0
geeft cyclische verwisseling van de coëfficiënten in
de waardefunctie
F= 1,Olx^ l,02xB 1,03xc minimaal
als optimale oplossingen achtereenvolgens
(xA, xB, xc) (11,0, 0), (0, 11, 0) en (0, 0, 11), ter
wijl met een waardefunctie
F \fi\xA l,02xB2 l,03xc 2= minimaal
in de optimale oplossingen de getalwaarden voor x,-
uiteenlopen van 3,70 via 3,67 tot 3,63.
Conclusie: bij lineaire programmering geldt grof
gezegd ten aanzien van de variabelen: alles of niets,
bij de kleinste kwadratenmethode: elk een beetje.
Het eerste is geen ongunstige eigenschap zolang
maar één persoon belang heeft bij die variabelen:
bij transportproblemen binnen een onderneming
b.v. wordt het aantal transporten er tot een mini
mum door beperkt, bij de laagste kosten. Hier vangt
men twee vliegen in één klap.
Soms echter zullen we dat niets te weinig vinden als
we de uitkomsten willen gaan toepassen, of dat
beetje teveel. Met andere woorden: we accepteren
de gevonden oplossing niet, als de variabelen vallen
buiten grenzen die we vergeten hadden in het model
te stellen.
5. Van model naar werkelijkheid
In het voorgaande heb ik aangegeven hoe in lineaire
voorwaardenmodellen optimale oplossingen kun
nen worden gevonden. Deze uitkomsten moeten nu
gebruikt worden voor de oplossing van het oor
spronkelijke probleem. Bij het landmeetkundige
voorbeeld is dit vrij eenvoudig. Pas de optimale
correcties toe op de waarnemingen, bereken met de
sinusregel de twee onbekende zijden, klaar.
Meestal echter is de afstand tussen de in het model
gevonden optimale oplossing en het gestelde pro
bleem aanmerkelijk groter. Dan moeten er nog
vele, vaak nauwelijks geformaliseerde, bewerkingen
worden uitgevoerd voordat het praktijkprobleem is
opgelost. Van optimale oplossing kan men dan al
niet meer spreken.
De transformatie van probleem naar model en terug
is bij uitstek een taak voor de ingenieur, de optima
liseringsprocedure binnen het model daarentegen is
weggelegd voor de wiskundige. De ingenieur is
echter verantwoordelijk voor de toepassing van de
uitkomsten en daarom moet hij terdege weten wat
er in een model kan gebeuren en wat hij er wel en
niet mee kan en mag doen.
Wat gebeurt er in het optimaliseringsmodel? De
voorwaarden brengen de grootheden (variabelen)
die men uit de werkelijkheid heeft geabstraheerd in
een formeel onderling verband enerzijds, anderzijds
leggen zij d.m.v. begrenzingen de speelruimte van
die variabelen vast. De coëfficiënten in de waarde
functie zeggen iets over de schade die elke variabele
in vergelijking met alle andere aanbrengt, of de bij
drage die een variabele levert aan een of ander hoger
doel: met zo weinig mogelijk vervorming van de
verzameling waarnemingen het model van de eucli
dische meetkunde ingaan, met zo laag mogelijke
kosten produceren, een plan van toedeling maken
waarin de som der rijafstanden minimaal is enz.
Een fundamentele eis is, dat alle coëfficiënten moe
ten worden bepaald in één (verhoudings)schaal,
waarin dat hogere doel op een of andere manier kan
worden gewaardeerd. Opvallend is, dat die hoge
doelstelling meestal niet of slechts zeer vaag wordt
omschreven. Voorbeelden: „het bevorderen van een
optimale landinrichting" of: „een optimaal multi
functioneel gebruik van de ruimte". Zulke doel
stellingen in waardeschalen te kwantificeren is verre
van eenvoudig. Toch moet het als men lineaire pro
grammering (of andere optimaliseringsmethoden)
wil toepassen.
De waardefunctie is totalitairzij neemt in één keer
een beslissing over de uitkomst van elke variabele
afzonderlijk. Met een model wordt een geheel sys
teem geoptimaliseerd (dat is althans de bedoeling),
maar niet de subsystemen waar de variabelen óók
deel van uitmaken. Variabelen kunnen zijn correc
ties aan hoeken, maar ook zaken waar verschillende
mensen belangen bij hebben of ook deze mensen
zelf. Correcties aan hoeken zullen geen mening
10
ngt 73
