We hadden ook een beschrijving als boldriehoek
kunnen kiezen, maar dat geeft nogal wat rekenwerk
en loont waarschijnlijk niet de moeite.
Waarom gebruik je eigenlijk een model? Een be
langrijk argument is, datje met een model of, alge
mener, met een theorie voorspellingen kunt doen
omtrent de werkelijkheid. In de vlakke driehoek be
staan er verschillende theoretische verbanden tussen
de hoeken onderling en tussen hoeken en zijde
lengten de som van de drie hoeken is een gestrekte
hoek, er zijn de sinusregel en de cosinusregel. Deze
verbanden tussen de grootheden zijn - binnen het
formele, axiomatische, model van de euclidische
meetkunde - waar; analoge functionele verbanden
tussen experimenteel bepaalde grootheden daaren
tegen zijn niet logisch dwingend aan te tonen. De
axioma's van de euclidische meetkunde zijn echter
evenmin te bewijzen, hoogstens te bevestigen, b.v.
door zeer vaak driehoeksmeting uit te voeren. Land
meetkunde kan dan worden gezien als een methode
ter toetsing van de meetkundige theorie (die eigen
lijk niets leert over wat meten is en hoe je moet
meten). Gauss heeft zich hieraan weieens gewaagd,
maar uitspraken vóór of tegen Euclides bleken niet
mogelijk. Tegenwoordig maakt men zich nauwelijks
meer druk over de vraag of de natuur zich volgens
de theorie gedraagt (determinisme), belangrijker
wordt gevonden dat de theorie bruikbare resultaten
geeft (pragmatisme).
In de euclidische meetkunde, en in de wiskunde in
het algemeen, is door logische deductie een groot
aantal verbanden afgeleid die wij als rekenregels
kunnen toepassen, ook al zijn ze niet altijd door
experimenten geverifieerd. Voor ons doel is geschikt
de sinusregel. Deze geldt echter alleen strikt binnen
het theoretische raam, we kunnen haar niet toe
passen op de waargenomen hoeken x; zelf, omdat
dit tot tegenstrijdigheden binnen het model zou
leiden:
a bc sinX[ sinx2 sinx3
is in strijd met b.v.
a2 b2 c2 2 b c cos xt
als niet
*1 +*2 +*3 gestrekte hoek
Willen we van een model gebruik maken, dan heb
ben we de bijbehorende theorie in al zijn consequen
ties te aanvaarden en zijn we genoodzaakt de ge
meten grootheden te transformeren naar groot
heden, met ter misleiding vaak dezelfde naam, die
in het model passen. De instrumenteel bepaalde
grootheden zijn op zich niet fout of afwijkend van
een „ware waarde", de enige reden voor hun trans
formatie is dat de theorie functionele verbanden
legt tussen de afbeeldingen in een model van groot
heden die in de werkelijkheid slechts samenhangen.
Daardoor wordt het mogelijk voorspellingen te doen
over niet verrichte waarnemingen: zonder dat de
zijden AC en BC worden gemeten kunnen ze door
hoekmeting worden bepaald.
Uit aflezingen op de theodolietrand hebben we,
door aftrekking, drie getallen xt, x2 en x3 afgeleid:
de hoeken van de experimentele driehoek.
In de euclidische vlakke meetkunde is de som der
hoeken van een driehoek een gestrekte hoek, die
wordt geacht te kunnen worden verdeeld in twee
honderd gelijke delen, graden genoemd (hier bestaat
geen meetkundige constructie voor!). Langs reken
kundige in plaats van meetkundige weg bepalen we
nu, in analogie, de som van de drie gemeten hoeken.
We vinden als uitkomst 199,9989.
Aan elke (in de werkelijkheid) instrumenteel be
paalde Xi kennen we nu met het (alweer: gekozen)
voorschrift Xt xt Ax( getallen Xt (in het model)
toe zodanig dat X1+X2+X3 200. In het volgende
schema zijn de operaties en verbanden tussen de
grootheden aangegeven.
werkelijkheid model
xt Axt Xy
x2 Ax2 X2
x3 Ax3 X3
199,9989 200
Zoals er vrijheid is in de keuze van een mathematisch
model, zo is er vrijheid in het opstellen van regels
voor de transformatie van werkelijkheid naar model
(en omgekeerd!). We kiezen bij voorkeur transfor-
matieregels die ook voor ingewikkelder netten dan
deze ene driehoek niet tot tegenstrijdigheden leiden.
De regel Aj- a-xt is in dit opzicht een minder ge
slaagde, hoewel ze nu direct tot uitkomsten voor
2
ngt 73
