l>0
Op voorwaarde dat deze waardefunctie ergens in
de oplossingsruimte een absoluut maximum of
minimum heeft kunnen we de daarbij behorende
oplossing definiëren als optimale oplossing en deze
zoeken. Dit gebeurt als volgt. Aan de oorspronke
lijke voorwaarde
Ax, Ax2 Ax3 11
voegen we als extra voorwaarde toe een beslissings
criterium
F(Ax,,Ax2,Ax3) minimaal (of maximaal)
en met deze voorwaarden proberen we de Ax, te
bepalen.
Welke waardefunctie moeten we nu toepassen? Er
zijn weer vele mogelijkheden om uit te kiezen (de
keuze zal afhangen van de aard van het probleem en
de doelstelling), maar ik zal me beperken tot de
behandeling van twee groepen: lineaire en kwadra
tische waardefuncties.
3.1 Lineaire waardefunctie
Laten we eens een lineaire waardefunctie proberen.
In afb. 2 heb ik de verschillende oplossingen „ge
wogen" met de waardefunctie
F Ax2 Ax2 3Ax3
Het blijkt dat deze lineaire waardefunctie in de,
onbegrensde, oplossingsruimte geen minimum heeft
zodat er ook geen optimale oplossing kan worden
gevonden. Conclusie: als er niet een of andere
natuurlijke of gekozen begrenzing van de oplossings
ruimte is kan er geen lineaire waardefunctie worden
toegepast bij het optimaliseren. Ik kom daar nog
uitvoerig op terug.
3.2 Kwadratische waardefunctie
Kennelijk is voor keuze in een onbegrensde op
lossingsruimte een waardefunctie nodig die op zich
al een absoluut minimum (of maximum) heeft. Een
kwadratische waardefunctie
F a,,Ax12 a22Ax22 a33Ax32
2 a, 2Ax, Ax2 2a13Ax, Ax3 2a23Ax2Ax3
voldoet aan deze eis, mits voldaan is aan de zeer
ruime voorwaarde voor de coëfficiënten
(a,,
a, 2
det
al2
a22
Ul 3
Met deze functie in het beslissingscriterium is er in
een onbegrensde oplossingsruimte inderdaad altijd
maar één optimale oplossing die, afhankelijk van
de coëfficiënten au, zelfs overal in de oplossings
ruimte kan liggen.
Hoe komen we aan de coëfficiënten a;j? Deze zullen,
wil de waardefunctie een optimale oplossing geven
die wij subjectief kunnen aanvaarden, voort moeten
komen uit de doelstelling.
Laten we aannemen, dat we deze kunnen omschrij
ven als: „met zo weinig mogelijk vervorming van
de verzameling waarnemingen het model van de
euclidische meetkunde ingaan". Met andere woor
den: het model moet zo goed mogelijk lijken op
(isomorf zijn met) het systeem dat we hebben waar
genomen.
In dit geval moeten we vervormen, maar eigenlijk
gaven we liever helemaal geen correcties aan de
hoeken. Een negatieve correctie aan een met zorg
gemeten hoek vinden we even ernstig als een even
grote positieve. De „vervorming" is in beide ge
vallen net zo groot en, stel, uit te drukken als het
kwadraat van de correctie. Het teken speelt dan
geen rol, en grote correcties leiden tot een meer dan
evenredige vervorming.
De hoeken zijn bijzonder serieus bepaald: x, is het
gemiddelde van twee waarnemingen, x2 van vier en
x3 van zes waarnemingen. Een vervorming van x3
vinden we daarom drie maal zo erg als een even
grote vervorming van x,, en een vervorming van x2
twee maal zo erg. De factoren een, twee en drie zijn
„gemeten" in een verhoudingsschaal en we mogen
daarom alle vervormingen, gewogen met deze fac
toren, bij elkaar optellen. De som noemen we „ver
vorming van de verzameling waarnemingen". Deze
moest minimaal zijn en we kiezen daarom als
criterium:
F Ax,2 A-2Ax2 +3Ax32 minimaal
De waardefunctie heeft in de oplossingsruimte een
minimum, en wel F 66 voor Ax, 6, Ax2 3 en
Ax3 2 (zie afb. 3). De correctie voor x3 is een
4
1
«13^
l
a23 i
a23
«33
ngt 73
