derde van die voor xu en deze is weer twee keer zo
groot als die voor x2.
Via een aan alle kanten rammelende redenering (het
heeft wel iets weg van de mechanische blokvereffe-
ning) zijn we zo gekomen tot een resultaat dat er
zeer aanvaardbaar uitziet. Bij de oplossing van veel
problemen kan men zelfs nauwelijks anders te werk
gaan, omdat betere theorieën vooralsnog ontbreken.
3.3 Methode der kleinste kwadraten
Wat we nu hebben gevonden is niets anders dan de
methode der kleinste kwadraten, de specialiteit van
geodeten. Zij gaat uit van een lineair (vaak ook ge-
lineariseerd) voorwaardenmodel met een of meer
voorwaarden zonder ongelijkheden, en een kwadra
tische waardefunctie. Er is altijd slechts één optimale
oplossing mee te vinden. Een voorwaardenmodel
met ongelijkheden kan ook worden behandeld met
een kwadratische waardefunctie; ik kom daar op
terug.
Ik heb hier vooral de nadruk gelegd op de beslis
kundige betekenis van de kleinste kwadraten-
methode binnen het formele model: zonder dat de
oplossingsruimte op enigerlei wijze hoeft te worden
ingeperkt heeft de waardefunctie altijd een mini
mum, één minimum, zodat er niet verder meer
hoeft te worden gekozen - of het moest zijn voor
verwerping van de oplossing.
Er is ook een statistische benadering mogelijk en
nodig, waarbij men eveneens uitkomt op een kwa
dratische waardefunctie, maar dan via het stochas
tische gedrag van meetgrootheden beschreven in een
kansmodel. De atJ blijken verband te houden met
varianties en kruisvarianties, en F heeft iets te
maken met de verschuivingsgrootheid E (in de
theorie van prof. Baarda) of met de bekendere
[gvv].
Vaak zijn de varianties nooit gemeten en wordt voor
de matrix (a;j) de eenheidsmatrix gebruikt, maar
zelfs in dat geval geeft de kleinste kwadratenmethode
een eenduidig optimale, vaak zeer goed bruikbare,
oplossing. Een soortgelijke handelwijze bij lineaire
waardefuncties zou een situatie als in afb. 1 kunnen
opleveren.
Door een nauwkeurige analyse van het meetproces
(helaas niet van de oorspronkelijke doelstellingen!)
is men - terecht - gekomen tot het gebruik van kwa
dratische waardefuncties bij de oplossing van land
meetkundige problemen. Er zijn echter ook zeer veel
problemen (ook landmeetkundige) die met lineaire
waardefuncties optimaal kunnen worden opgelost.
Hoe doet men dat?
4. Optimaliseren in modellen met meer
voorwaarden
Tot nu toe hebben we gewerkt met slechts één
lineaire voorwaarde in het model. In de praktijk
blijken er vaak meer te kunnen worden opgesteld,
zodat een onderzoek hoe lineaire (en kwadratische)
waardefuncties zich gedragen in dergelijke meer
complexe voorwaardenmodellen op z'n plaats is.
4.1 Lineaire waardefuncties
Vooral op het gebied van de bedrijfseconomie be
staan er diverse problemen die beschreven kunnen
worden in termen van lineaire voorwaarden (ge
lijkheden en ongelijkheden) en lineaire waarde
functies. De literatuur geeft voorbeelden over het
vervaardigen van koffiezetmachines, over het vet
mesten van varkens of het transporteren van koffie,
voorbeelden die er alle zeer vanzelfsprekend uitzien.
Variabelen zijn b.v. de hoeveelheden goederen die
op bepaalde machines vervaardigd worden; de
waardefunctie geeft dan b.v. aan wat de maximale
opbrengst in geld is van alle geproduceerde goe
deren. Kenmerkend is, dat de variabelen onder
worpen zijn aan begrenzingen. De ondergrens is vaak
0: er wordt niets geproduceerd op een machine, er
worden geen grondstoffen van een bepaald merk
gekocht, er wordt niets getransporteerd tussen een
bepaalde fabriek en een bepaalde winkel. Een
bovengrens (als deze er is) wordt vaak gesteld door
een machinecapaciteit: de machine is volledig bezet.
Wegens plaatsgebrek zal ik hier geen voorbeeld
uitwerken, maar me beperken tot de behandeling
van de meer rekenkundige kant van de zaak.
Laten we aannemen, dat in een model de variabelen
in de voorwaarde
xA xB xc 11 (O
niet kleiner kunnen worden dan 0, dus
ngt 73
5
