Congres „Onderwijs en Onderzoek in de Geodesie"
van de eigenvectoren zal later aangetoond worden.
De berekening van eigenwaarden is een nogal inge
wikkelde zaak. Als er geen correlatie is dan is de
variantiematrix een diagonaalmatrix. De eigen
waarden zijn dan gelijk aan de hoofddiagonaal-
elementen, de halve aslengten van de bijbehorende
hyperellipsoïde zijn dus gelijk aan de vierkants
wortel uit de hoofddiagonaalelementen.
Stel, dat we de correlatie in de matrix (G) nul stellen.
De nu verkregen matrix vatten we op als een ver
vanger voor de oorspronkelijke matrix (G). Deze
diagonaalmatrix vervangt de oorspronkelijke ma
trix (G) en wordt daarom vervangingsmatrix ge
noemd.
Js
y3
1.35
0
0
0
0
1.35
0
0
0
0
1.35
0
0
0
0
1.35
Vervangingsmatrix (H)
Voor de vervangingsmatrix zal verder de letter H
gebruikt worden. Omdat de diagonaalelementen
van gelijk zijn is de standaardhyperellipsoïde
een hypersfeer. De straal hiervan is 1.35 1.16
cm.
De puntsstandaardellipsen die uit de vervangings
matrix berekend zijn, zijn even groot als die uit
(G). De relatieve standaardellips van de punten 3
en 5 berekend uit H is groter dan die berekend uit
G, zie figuur 2b.
3 Beoordeling van vervangingsmatrix
Is de vervangingsmatrix nu een goede keuze geweest?
Allereerst merken we op dat de standaardhyper
ellipsoïde berekend uit (G) groter is dan die be
rekend uit immers de straal van de hypersfeer
is kleiner dan de halve aslengte van de grote as van
de standaardhyperellipsoïde. De vervangingsmatrix
geeft dus een te optimistisch beeld van de werke
lijke situatie en is dus niet goed gekozen. Immers
standaardafwijkingen van grootheden die een
functie zijn van de coördinaten van de punten 3 en
5 geven een te gunstig beeld als deze berekend wor
den met deze vervangingsmatrix. We zeggen daar
om dat de matrix (G) „slechter" is dan de ver
vangingsmatrix Dit komt dus eigenlijk omdat
de straal van de hypersfeer, berekend uit H, kleiner
is dan de halve grote as van de standaardhyper
ellipsoïde, ofwel:
{aslengte halve grote as}2 2.25
{straal hypersfeer}2
1.35
1
Aangetoond kan worden dat als de grootste eigen
waarde Amax van de matrix
(G)-KH)
groter is dan 1, dat dan (G) „slechter" is dan (H).
Deze eigenwaarden worden op dezelfde manier be
rekend als bij de bepaling van de aslengten van de
standaardhyperellipsoïde. De eigenwaarden zijn die
waarden van A waarvoor det (G) 1(H) nul wordt,
dus de eigenwaarden volgen uit:
r 1.35 0 0.90 0
0 1.35 0 0.90
0.90 0 1.35 0
0 0.90 0 1.35
A
'1.35 0 0 0
0 1.35 0 0
0 0 1.35 0
0 0 0 1.35
Voor de grootste eigenwaarde
vonden:
wordt ge-
De grootste eigenwaarde is precies gelijk aan het
quotiënt van het kwadraat van de halve grote as
met het kwadraat van de straal van de hypersfeer.
Omdat Amax 1 geldt dat de matrix (G) „slechter"
is dan (H).
Hoewel de berekening van de eigenwaarden van
deze vervangingsmatrix (H) zeer eenvoudig is, is
door de verwaarlozing van de correlatie een essen
tieel deel van de informatie verloren gegaan. Boven
dien was te „klein" gekozen. Als de diagonaal
elementen van (H) groter dan 2.25 gekozen waren
dan was (G) „beter" dan (H) geweest, d.w.z. dat als
standaardafwijkingen van grootheden die een
functie zijn van de coördinaten van de punten 3 en
5 berekend worden met (H) deze altijd groter zullen
zijn dan als ze met (G) berekend zouden worden.
y 3
*3
*5
*3
5
*5
0
'bnfiY
2.25
L35
ngt 73
109
