vergelijkingen (2) veel eenvoudiger schrijven:
x AX s' n
Hierin is A de matrix van de coëfficiënten van de
parameters. De grootheden lmk, lrk en lgk zijn ele
menten van deze matrix.
Volgens [2] kan men uit (3) de parameters berekenen
met de volgende formule
X (ATC-1A)-lArC-1x
Hierin geeft de bovenindex 7 de getransponeerde
aan, de exponent -1 de inverse, terwijl C de co-
variantiematrix van de waarnemingen voorstelt.
Als verondersteld wordt dat het signaal s' onge
correleerd is met de ruis n, dan is volgens Moritz
C C D,
waarin
C M{s' -s'T},
de covariantiematrix van het signaal en
D M{nnr
de covariantiematrix van de „afleesfouten".
M{} duidt hier op de mathematische verwachting.
Voor de „afleesfouten" wordt dikwijls aangenomen
dat zij ongecorreleerd zijn en een standaard
deviatie hebben van 0,01 lane.
Bij deze aanname is:
D^-E,
f
(6)
als de frequentie is die bij de fazemeting gebruikt
wordt, en E de eenheidmatrix. In vele gevallen zal
de invloed van de „afleesfouten" klein zijn verge
leken bij de meer systematische afwijkingen ten ge
volge van de voortplantingseigenschappen, zodat
men dan in de berekening van de parametervector
X uit (4) D kan verwaarlozen.
Moeilijker, maar wel van essentieel belang is het
om de covariantiematrix C van het signaal te vinden.
Zoals reeds eerder aangeduid is, zal worden aange
nomen dat de correlatie van de vertragingen Kmk
Kml), (Krk, Krl), (Kgk, Kgl) tussen twee waarnemings-
punten Pk en P, groter is naarmate de hoek waar
onder de punten vanaf de zender gezien wordt
kleiner is. Hiertoe wordt een klokvormige functie
ingevoerd, waarvan de vorm niet erg kritisch is,
maar die wel aan zekere eisen moet voldoen. Zie
[2, tussen de formules 4.19 en 4.20] en [3, section
10.3 „Discussion" punt 2 en 3], Gekozen wordt de
volgende vorm, die althans in voldoende mate, aan
de laatstgenoemde eisen voldoet:
M{Kmk-Kml} Bm exp -
M{Krk Krl} Br exp - (Pkrl/br)
(PkJbJ2
M{Kgk-
Ki)
Bg exp-0%g,ibgY
Met de bovenstaande gegevens is het niet moeilijk
om de covariantiematrix C uit te schrijven, indien
de aannemelijke veronderstelling gemaakt wordt dat
er geen correlatie bestaat tussen de vertragingen in
de golven die afkomstig zijn van verschillende zen
ders (d.w.z. termen zoals M{Kmk-Krk) en M{Kmk-
Kri} worden verondersteld nul te zijn).
Men vindt zo voor C een symmetrische matrix
waarvan de elementen bestaan uit de tweede leden
van (7) en uit de sommen van twee van deze leden,
voor alle combinaties van k en De orde van deze
matrix is gelijk aan twee maal het aantal ijkpunten.
Met behulp van (5) vindt men nu de matrix C, zodat
men met (4) de parameter kan berekenen. Wel moet
men dan de konstanten B,n, Br, Bg, br en bg kennen.
Deze laatste 6 grootheden moet men trachten te
schatten door:
1. speciale experimenten, waarvoor gedacht wordt
aan een experimenteel klein two-range systeem.
2. de studie van de eigenschappen van golfvoort
planting, vooral in de omgeving van een zender
en bij de overgang van land naar zee.
3. onderzoek van bestaande calibraties of van spe-
ciaal voor dit doel verrichte calibraties van
plaatsbepalingssystemen.
Indien men redelijke schattingen heeft van de zes
constanten in (7) dan kan men ook voor ieder nieuw
punt Pp in het werkgebied het signaal sp vinden met
s.^C^C-^x-AX)
(3)
(4)
[2]:
(5)
vm/
2
(7)
(8)
ngt 75
47
