70
Differentieert men de vergelijking:
X Y V-l f (x -h y V—1), zoo vindt men
dX 4- dY V-l f1 (x 4- y V—l) dx -+- dy V-l),
wanneer men onder f1 verstaat de functie, die door de differentieering van
eene functie f ontstaat, zoodat df(z) f'(z)dz.
Nu bestaat f1 uit bestaanbare en onbestaanbare termen, zoodat men kan
stellen
f1 (x 4- y V-l) P 4- Q V-l,
waarin P en Q functiën van x en y zijn.
Men vindt nu
dX dY K-l (P Q V-l) (dx dy^rl).
Ontwikkelt men het tweede lid en stelt men in de vergelijking de bestaan
bare termen van beide leden aan elkander gelijk en handelt men evenzoo met
de onbestaanbare, dan vindt men:
dX P dx Q dy dY Q dx P dy.
Stelt men nuP 8 cos y, Q 8 sin y, dx ds cos g, dy ds sin g,
dX dS cos G en dY dS sin G, zoodat ds een lineair-element in het
eerste vlak en g zijne helling tot de abscissen-as, dS en G de gelijknamige
grootheden voor het andere vlak voorstellen, zoo worden bovenstaande ver
gelijkingen
dS cos G 8 ds J cos g cos y sin g sin y j 8 ds cos (g 4- y).
dS sin G 8 ds j sin g cos y 4- cos g sin y j 8 ds sin (g 4- y).
Hieruit volgt, <5 als positief beschouwd, wat veroorloofd is: dS 8 ds
en G g -f y.
Men ziet alzoo, dat 8 de vergrooting voorstelt en dat deze waarde onafhan
kelijk is van g; evenzoo blijkt, dat y de verdraaiing is, evenzeer onafhanke
lijk van g.
Alle zeer kleine lijnen, die door een zelfde punt gaan, ondergaan dus eene
evengroote verdraaiing en dezelfde vergrooting, daar 8 en y gevonden worden
uit de formules:
P 8 cos y en Q 8 sin y en P en Q functiën zijn van de coördinaten
van dat punt. Dit op een zeer klein driehoekje toepassende, vindt men, dat
de hoeken geen verandering ondergaan, en dat dit kleine deeltje dus conform
wordt overgebracht. Hetzelfde volgt uit de gelijkheid der vergrootingen, daar
de verhouding van de zijden niet gewijzigd wordt. Is nu 8 1, dan blijven
de lijnen even groot, is 8 j> 1; dan worden de lijnen grooter, is 1, dan
worden die kleiner.
Daar I en Q in t algemeen voor verschillende punten andere waarden
bekomen, zullen ook de grootheden 8 en y verschillend zijn. De deeltjes van
een rechte lijn zullen dus alle eene verschillende verdraaiing ondergaandie
lijn zal hierdoor krom worden. Wordt nu een driehoeksnet volgens deze
methode overgebracht, dan zullen de zijden in kromme lijnen overgaan en de hoek
