67
De vergelijkingen (2) en (3) zijn ook uit elkander af te leiden,1)
dus even nauwkeurig en voor de allergrootste driehoeken (zie blz.
270) volkomen voldoende.
Het spherisch exces y van hoek A is dus gelijk aan den inhoud
van den aangrenzenden vierhoek. Is B of C stomp, dan ligt M
buiten den driehoek, en vindt men gemakkelijk, dat y niet meer
gelijk is aan de som der driehoeken AMD en AMG maar aan hun
verschil. Daarom kan y ook negatief zijn, zoodra een der andere
hoeken stomp is, en kan y e worden zoodra A zelf stomp is.
Uit vergel. (3) volgt: y ie ^°S' en dus is:
Cos. (BC) Cos. A
y als A 120° of als A 120° en B C.
y e als A 120° en B C.
y e als A 90°.
y o. als BC 90°.
y negatief, als B—G 90° of C 45° A of B 135° J A.
Verder merken wij op, dat voor eiken boldriehoek de bekende
formule geldt:
Sin.2 \a~ Cos- (s—A) c s Sm. (A e). Sin A g.
Sin. B Sin. C Sin. A. Sin. B Sin. C a
Omdat de koorde B C 2 Sin. a, is dus streng juist:
koorden A B2A C2B C2 Sin. C. Sin. (C— e)Sin B. Sin. (Be)
Sin A. Sin (Af e)(4).
En onder verwaarloozing der termen met e2
koorden AB AC BC Sin. (C—e)Sin. (B—f Sin. (A—J e) .(5)
Deze laaste evenredigheid heet het theorema van Grunert, naar
den wiskundige, die ze in 1855 langs een vrij omslachtigen weg heeft
afgeleid. Ik kan niet inzien, waarom dit theorema voor de berekening
der koorden de voorkeur zou verdienen boven het werken met de
koordenhoeken. De berekening der laatste volgens (3) kost voor
eiken driehoek slechts weinige minuten. Vergel. (2) is even nauw-
Vergel. (3) is ook onmiddelijk uit de figuur af te leiden. Drieh. AGD
4 en MGD AGD x Cot. B. Cot. C, dus I i e (1 -f Cot. B Cot. C). Ik
heb ook een meetkunstig bewijs voor vergel. (2), maar dat is minder een
voudig. Men kan ook (3) uit (5) afleiden.
