12
De hier gevonden wetten gelden voor alle projecties; in het
a. b
bijzonder geval echter, dat a gelijk b is, wordt sin do o
a b
en do o; de hoeken blijven dan alle onveranderd en wij hebben
in dat geval eene conforme projectie.
Overigens valt er nog op te merken, dat de vervorming der
hoeken uitsluitend afhankelijk is van de verhouding van a en b en
niet van de volstrekte waarde dezer grootheden.
Wij gaan thans over tot het bepalen van de vergrooting der lijnen,
die in verschillende richtingen van het punt O uitgaan (zie figuren
6 en 7).
De vergrooting, die eene willekeurige lijn OP (fig. 6) ondergaat
OQ
is het quotient Qp-, of daar OP gelijk de eenheid is, is de vergroo
ting gelijk aan de lijn OQ uitgedrukt in de eenheid.
De lengte van OQ is alleen afhankelijk van den overstaanden
hoek OpQ (fig. 7), daar de zijden Op en pQ constant zijn. De
grenswaarden der vergrooting verkrijgt men, wanneer de driehoek in
eene rechte lijn overgaat; en wel het maximum, wanneer de tusschen-
liggende hoek la 180° is, in welk geval de overstaande zijde
V2 (a b) (a b) a ishet minimum, wanneer de hoek
2 a 0° en de vergrooting yg (a b) (a b b is. De
maximum-vergrooting vindt men in de richting der lange as, de
minimum-vergrooting in die van de kleine as der ellips.
Onder de bijzondere standen van de lijn nemen wij nog dien van
de grootste verdraaiing, a 45 i dQ, waarbij de driehoek recht
hoekig is in Q. Men vindt dan:
OQ2 V4 (a -4- b)2 V4 (a b)2 ab.
OQ
Deze stand heeft vooral bij de equivalente projecties eene bijzon
dere beteekenis, omdat daarbij het product ab altijd de waarde 1
heeft en men dus vindt, dat bij die projecties in de richting der
grootste verdraaiing de lijnen op hunne ware lengte worden gepro
jecteerd.
Voor het product der vergrootingen in de richting der beenen
van een hoek, die zijne grootte behoudt, vinden wij, volgens figuur 8
Vi X V2 OQ X OV en daar pQ pV is,
