EEN EN ANDER OVER KAARTPROJECTIÈN.
II. Equivalente projectiën.
Eene belangrijke groep van kaartprojectiën is die, waarbij de
inhouden van de figuren op den bol gelijk zijn aan die van de
voorstelling daarvan in het platte vlak, de zoogenaamde equivalente
projecties.
Het is duidelijk, dat de equivalentie hier uitsluitend betrekking
heeft op de inhouden der verschillende deelen en niet op de lengte
der lijnen of de grootte der hoeken, zoodat, streng opgevat, de be
naming niet juist is. Een eisch toch tot gelijkheid der inhouden
sluit den eisch tot gelijkheid der hoeken uit en omgekeerd, zooals
later duidelijk zal worden.
Waar sprake is van den inhoud der figuren op den bol, vergeleken
met dien in een plat vlak, zullen wij eerst moeten trachten het verband
daartusschen vast te stellen.
Behalve door directe overbrenging van een bol in een plat vlak,
kan, zooals bekend is, een kaart ook worden samengesteld, door
eerst van den bol te projecteeren op een ontwikkelbaar oppervlak
en dit daarna in een plat vlak, n.m.l. door cilindrische of kegelprojecties.
Alvorens tot de projectie zelve over te gaan, zullen wij eerst nog
eene stelling uit de wiskunde vermelden en deze eenigszins uitbreiden,
voor zooverre die met ons onderwerp in betrekking staat.
In de stereometrie is bewezen', dat het ronde oppervlak van eene
bolvormige schijf gelijk is aan hare hoogte, vermenigvuldigd met den
omtrek van den grooten cirkel van den bol. Raakt een cilinder aan
een bol en brengt men twee vlakken aan loodrecht op de as van
den cilinder, dan zijn de oppervlakken, van bol en cilinder afgesneden,
aan elkander gelijk.
Eene andere betrekking is de volgende:
het oppervlak van een bolvormig segment is gelijk aan dat van
