4
een cirkel in een plat vlak, die beschreven is met een straal gelijk
aan de koorde van het halve segment.
Deze beide stellingen geven ons het verband aan tusschen den bol
en den cilinder of het platte vlak; daar deze echter te beschouwen
zijn als bijzondere gevallen van den kegelmantel, ligt het voor de
hand om te onderzoeken, of er ook eene eenvoudige betrekking
bestaat tusschen de inhouden op den bol en die op den kegelmantel.
Hiertoe overgaande, merken wij vooreerst op, dat het ronde opper
vlak van een afgeknotten kegel gelijk is aan de halve som der
omtrekken van grond- en bovenvlak, vermenigvuldigd met het apothema,
dat is volgens fig. 1 gelijk aan n (AC -I- BD) X AB.
Laat men uit het midden M van AB eene loodlijn MF neer op
de omwentelingsas CD, dan is 2 MF AC 4- BD, waardoor de
uitdrukking voor het oppervlak overgaat in 2 n X MF X AB.
Richt men nu nog in M een loodlijn op, die de omwentelingsas
in E zal ontmoeten, dan heeft men tengevolge van de gelijkvormigheid
van de driehoeken MFE en AGB de evenredigheid MFME CD: AB,
zoodat we voor het oppervlak ook kunnen schrijven 2 n X ME X CD.
Wij laten thans eene regelmatig gebroken lijn ABCDE, waarvan
O het middelpunt is van den ingeschreven cirkel, wentelen om eene
as, gelegen in het vlak der gebroken lijn en gaande door O, waarbij
elk der zijden AB, BC, enz. een afgeknotten kegel beschrijft, (zie fig. 2).
Het verlengde van eene der zijden, BC, snijdt de omwentelingsas
in Top het oppervlak, door TBC beschreven, zullen we de opper
vlakten der afgeknotte kegels AB, CD en DE overbrengen.
Hiertoe kan men geraken door de afstanden TA, TD en TE van
T uit langs TBC uit te zetten, waardoor men de punten a,d en e vindt.
De lijnen aB en AB zullen nu bij wenteling om de as TO gelijke
oppervlakten beschrijven; evenzoo de lijnen Cd en CD, de en DE.
Om dit te bewijzen bepalen wij de ronde oppervlakten van twee
afgeknotte kegels, b.v. van de en DE, welke wij Ot en 02 zullen
noemen.
Wij hebben: Oj 2 n X de X mf.
02 2 n X DE X MF =r 2 n GH X MO.
Nu is de Te Td;
mf Tm X 7» (Te 4- Td) en dus
Tm Tm
