Past men deze beschouwing over de herhaalde proeven toe op
het gestelde vraagstuk, n.l. de waarsch. te bepalen om een zeker
aantal malen wit te trekken uit de vaas, waarin 6 witte en 4 zwarte
ballen zijn, dan vindt men voor de kans, om bij 5 proeven ook
5 maal wit te trekken p5 o,65 0,07776. De kans, om.bijv.
3 maal wit en 2 maal zwart te trekken, blijkt 10 /3 q2
10 (o,6)3 (0,4)2 0,34560.
Zoo zal men verder vinden, noemende x het aantal malen voor
A(3 dat voor B en W de overeenkomstige waarsch., terwijl
het aantal proeven s y.
Voor x 5 en/3 o W /5 0.65 =0.07776
4 1 W== 5 /4 5 X °-64 X °-4 0.25920
3 2 IV io/3 q2 10 X °-63 X °-42 0.34560
2 3 W= 10 p2 ?3=ioX 0.62 X °>43 0.23040
1 4 IV 5 p q* 5 X o-6 X °-44 0-°768°
o 5 IV q^ 0.45 =0.01024
Samen (p -j- q)5 (0.6 -f- 0.4)5 1.00000
Wil men dus de waarsch. berekenen, dat een verschijnsel bij
een zeker aantal proeven zich een bepaald aantal malen zal
voordoen, dan neme men slechts dien term van het ontwikkeld
binomium, waarbij de waarsch. tot die bepaalde macht voorkomt.
Men kan dit als volgt in het algemeen aantoonen: Stel dat
men, omtrent A. s proeven doet, en dat men wil kennen de
waarsch., dat A zich daarbij malen zal voordoen en B dus
j x malen, indien p de waarsch. voor A en q die voor B is,
waarbij p q Zij ter vereenvoudiging j a. (3.
De verschijnselen kunnen zich op j -j- t manieren voordoen,
zooals er bij 5 proeven 6 gevallen waren.
Verder kunnen A en B in verschillende volgorde komen, bijv.
AAABBABAA enz.
Hiervoor is nu de waarsch. gelijk aan pp p q q p q p p enz.;
in het algemeen pa- qfi.
Maar pa qp is de waarsch. voor dat ééne verschijnsel, en daar
het zich op verschillende wijzen kan voordoen, afhankelijk van
de volgorde, waarin men A en B neemt, zoo moet men, om de
totale waarsch. te verkrijgen, aan pa qp nog een factor toevoegen;
die factor is dan een der coëfficiënten van 't binomium (p -f q)s
en wel die, waarbij p tot de macht x en q dus tot de macht [3
io6
