196
xx dxxen dat tevens de andere fout zal liggen tusschen x2
en x2 dx2, eene samengestelde waarschijnlijkheid, die bepaald
wordt door het product der enkelvoudige waarschijnlijkheden.
De waarschijnlijkheid voor het gelijktijdig voorkomen van deze
beide fouten is dus:
f\ (*1) dxx f2 {x2) dx2.
Teneinde hieruit de waarschijnlijkheid der resulteerende fout
af te leiden, moeten wij in aanmerking nemen, dat ééne bepaalde
waarde van X uit een zeer groot, als men wil een oneindig
aantal verschillende paren waarden van x^ en x2 kan ontstaan zijn,
wanneer slechts telkens de voorwaarde X\ -f- x2 X vervuld is.
Neemt men bijv. eene fout X 7, dan kan ze ontstaan zijn
door xl 2 en x2 5, waarbij X xx x2 7maar ze kan
ook ontstaan door xx 3 en x2 4, daar ook dan X 7ook
voor ^1=4 en x2 3 wordt X 7enz.
Om derhalve de totale waarschijnlijkheid F XdX, d. i. de
waarschijnlijkheid, dat de resulteerende fout ligt tusschen X en
X -(- dX, te verkrijgen, zullen wij de som moeten nemen van de
producten j\ (x\) dxx f2 (x2) dx2 voor alle waarden van X\ en x2,
die aan de voorwaarde xx x2 X voldoen
F(X) dX f f\ (x\) -fi (x2) dx 1 dx2.
Om aan de voorwaarde X\ x2 X te voldoen, elimineere men
eene der veranderlijken, door bijv. te substitueeren x2 XX\
waaruit intusschen volgt dx2 dX.
Wij verkrijgen dan:
F(X) dX j yj (xi) .f2 (X X\dx 1 dX,
of
F(X) {xx) ,f2 {X - Xl) dxj.
Bij het uitvoeren van deze integratie heeft men dan de waarde
van X voor een oogenblik als constant te beschouwen, en X\ te
doen varieeren tusschen zoodanige grenzendat zoowel f (x,) als
f2 (XXj) eene van nul verschillende waarde behoudt.
Deze grenzen evenwel zijn niet alleen afhankelijk van de
grenswaarden van xx (welke wij ax en b\ zullen noemen) en van die
van x2 («2 en b2), maar ook van de beschouwde waarde van X.
Dientengevolge heeft juist deze grensbepaling de meeste moeilijk
heden opgeleverd, vooral als er sprake was van het samentreffen
van een grooter aantal fouten.
