Bij de enkelvoudige fout was die functie eene constante, en de
meetkundige voorstelling (Fig. 1 bldz. 6) een rechthoek; bij het
samenstellen van twee fouten verkregen we (Fig. IV bldz. 9) een
driehoek, bij het samenstellen van drie fouten eene kromme lijn
(Fig. XVII bladz. 14), die reeds meer overeenkomst vertoont
met die van Fig. V bladz. 9, en zoo zal, indien slechts het aantal
samenstellende fouten groot genoeg genomen wordt, de fouten-
wet der resultante meer en meer het verloop der lijn ABC van
Fig. V volgen.
Wat de mathematische afleiding der exponentiëele wet aangaat,
deze is door verschillende wiskundigen volgens verschillende
methoden tot stand gebracht. Vooral het bewijs van Bessel munt
uit door strengheid en algemeenheid; dit vereischt echter veel
wiskundige kennis, waarom wij hier de meer elementaire afleiding
van Hagen zullen geven.
Hagen dan vangt aan met te onderstellen: dat de resultante
X het gevolg is van een zeer groot aantal elementaire fouten,
die elk tot een gelijk positief als negatief bedrag voorkomen, en
dus zoowel eene waarde -j- m als m kunnen hebben, waarbij
vi eene zeer kleine grootheid is. Volgens dezelfde beschouwing,
waaruit wij boven hebben afgeleid, dat de middelbare fout in de
resultante van eenige symmetrische fouten gelijk is aan:
M VS m2
volgt, dat deze formule ook hier van toepassing is, daar de
«middelbare waarde» der elementaire fouten (die immers elk gelijk
zijn aan m), ook door m wordt voorgesteld.
Stellen we dus een aantal fouten samen dan zal:
M2 X m2 m2 m2 ~t~ m2 m2 s m2
of
M m Vs.
Daar nu deze middelbare waarde van de fout in de resultante
eene eindige waarde heeft, moeten wij, bij het grooter worden
van het aantal 5- der elementaire fouten veronderstellen, dat het
bedrag m dier fouten tegelijkertijd kleiner wordt, en dus wel
zoodanig, dat mVs eindig blijft, niettegenstaande s zelve (en dus
ook Vs) oneindig groot en vi oneindig klem wordt. "We zullen
straks van deze opmerking gebruik moeten maken.
G. Hagen. Grundzüge der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Berlin 1867.
267
