53
waaruit a b onder een hoek y gezien wordt. Het snijpunt van
dezen cirkel met een tweede dergelijke meetkundige plaats, b.v.
den cirkel op a c als koorde en bevattende den hoek (3, guande
dus door de punten a, c en f3, is het gevraagde punt p. Dit is
de oplossing, die het meest voor de hand ligt.
Men kan ook zeggen dat a, b en y met p op een cirkelomtrek
moeten liggen, omdat <pay i8o° <pby, deze hoeken zijn
immers beide gelijk aan den hoek, welken het planchet van den
georiënteerden stand afwijkt; eveneens moeten c, a en (3 met p
op een cirkel liggen omdat <paj3 <pC|3.
De constructie dezer cirkels kan practisch het bezwaar opleveren,
dat de middelpunten buiten de teekening vallen.
De aangehaalde oplossing nu, zonder cirkelbogen, berust op
inversie. Hieronder verstaat men een afbeeldings- of transformatie-
methode, waarbij elk punt p eener figuur omgezet wordt in een
ander punt p', zoodanig gelegen op de verbindigslijn van p met een
vast punt a, dat voldaan wordt aan de betrekking apXap' ±k2.
Het vaste punt a heet centrum of pool der inversie; de constante
k2 heet macht der inversie, welke positief of negatief kan zijn,
naar gelang ap en a p' gelijk of tegengesteld gericht zijn; p en
p' heeten eikaars heeld. Worden nu alle punten van een cirkel
met a x als middellijn omgezet (geïnverteerd) in hunne beeld
punten t.o.v. a als pool en met eene macht, die wij hier negatief
kiezen, dus k2, dan heeft men, indien x' het beeld van x
voorstelt,
a x X a x' k2
en voor een willekeurig punt y van dien cirkel, waarvan het
beeld door y' wordt aangeduid.
a 7 X a 7 k2.
Dus axXax' arXar' a x a y' a y a x'. Hieruit
volgt A a x y co A a y' x' en daar <X y recht is, is ook x' recht.
Alle beelden y' hebben x' tot projectie op a x; doorloopt y den
cirkel, dan doorloopt y' de rechte in x' loodrecht op a x, m.a.w.
het beeld van een cirkel, die door het inversie-centrum gaat, is
een rechte loodrecht op de middellijn van dat inversie-centrum.
Deze korte beschouwing over inversie, bestemd voor den lezer,
die met dit deel der meetkunde onbekend mocht zijn, geldt
algemeen.
Gaat men nu de beide cirkels apb en acp/3 inverteeren
