c. De affine transformatie.
75
Laten wij in VI ook de laatste voorwaarde weg dan blijft over
u a.\ x b\ y C\
v a2 x b2y -\- c2 (i)
waarin a, b en c willekeurige eindige waarden. Alleen hebben
wij te zorgen dat (#1 b2 a2 waarom zal later blijken. (2)
Het is de z.g. affine transformatie.
Laten wij onderzoeken, wat van de meest gebruikelijke figuren
na deze transformatie terecht komt.
ie. Het punt. Uit gegeven x en y volgt één waarde voor
u en één waarde voor velk punt wordt dus als één enkel punt
afgebeeld, althans wanneer de voorwaarde (2) wordt vervuld.
Omgekeerd levert de eliminatie van x een eerste-graads be
trekking tusschen y met u en v en de eliminatie van y een der
gelijke betrekking tusschen x met u en v. Bij iedere u en v
behoort dus één x en y.
Daar a1 a2 a3 bx b2 b3 eindig zijn kunnen u of v geen oneindige
waarde aannemen dan met xoiy= co. Een eindig ver punt blijft
dus eindig ver terwijl oneindig verre punten in het oneindige blijven (oc)
Een figuur die geheel in het eindige ligt kan dus na de trans
formatie geen punt in het oneindige hebben.
2e. Lijnen. Zijn x en y variabel dan zijn ook u en v variabel.
Een ie graadsbetrekking tusschen en y levert door substitutie
weer een ie graadsbetrekking in u en v(/3)
Een rechte wordt dus door deze transformatie als rechte afgebeeld.
Een afbeelding met deze eigenschap wordt collineatie genoemd
(Möbius).
Bestaat een tweedegraadsbetrekking tusschen x en y dan is de
betrekking tusschen u en v van denzelfden graad (y)
De transformatie verandert de graad der betrekking niet. Een
kegelsnede blijft dus een kegelsnede, en in verband met de
eigenschap volgt:
Een cirkel of ellips kan alleen worden afgebeeld als cirkel of
ellips0)
3e. Vectoren. Om de verdere eigenschappen van de trans
formatie na te gaan beschouwen wij een andere figuur, de vector.
Een vector is een stuk van een rechte lijn met bepaalde lengte
