PUNTVEREFFENING DOOR MIDDEL VAN
VOORWAARDEN VERGELIJKINGEN.
In de figuren I, II en III stellen de punten A, B en C drie
punten voor, die in ligging ten opzichte van elkaar zijn bekend.
Het punt P is een onbekend punt, waar gegeven zijn de hoeken
x, (3 en y, zijnde de hoeken welke de richtingen in P naar de
drie bekende punten met elkaar maken.
Teneinde resultaten te vinden, geldig voor elke ligging van P
t. o. v. A, B en C, worden de volgende afspraken gemaakt:
ie De letters A, B en C worden bij de 3 gegeven punten
geplaatst, zoodanig dat, wanneer de omtrek van ABC wordt
doorloopen in de richting A B C, deze richting overeen
stemt met de draaiingsrichting van de wijzers van de klok.
2e De hoek x staat op dezelfde zijde van A B C als de
hoek A van ABC; x wordt verder zoo gerekend, dat hij
wordt doorloopen door P B, draaiende met de wijzers van de
klok, tot PB samenvalt met PC. Soortgelijke afspraken voor
(3 en y. Hierdoor wordt in Fig. I en III
x (3 -f- y 360°
en in Fig. II -p (3 -f y 720°.
Er zal nu een formule worden afgeleid, waarbij de onderlinge
verhouding van de afstanden PA, PB en PC wordt uitgedrukt
in de hoeken A, B en C van ABC en de hoeken x, (3 en y.
Daartoe zijn in de fig. I, II en III uit P de loodlijnen PPj, PP2
en PP3 neergelaten respectievelijk op de zijden BC, CA en AB
van ABC.
In Fig. I is nu:
/P1P2P3 /P,P2P+/PP2P3 (1)
De vierhoek PP! C P2 is een koorden vierhoek (de bij Pi
en P2 recht), dus:
/P, P2P=/P1CP=i8o0-«-ZPBC (2)
De vierhoek PP2 AP3 is ook een koorden vierhoek, waaruit volgt:
/PP2P3 PAPs= i8o°-r-/PBA (3)
(2) en (3) ingesteld in (1) geeft:
Z Pi P2 P3 360° a r Z pBC - z PBA (3 B.
