DE TOEPASSING VAN PUNTTRANSFORMATIES IN DE
LANDMEETKUNDE.
II. De projectieve transformatie.
a. De afbeelding van een rechte.
Gegeven zijn twee rechten, op iedere rechte een beginpunt en
de positieve voortgangsrichting. Een willekeurig punt op de
eerste rechte is gegeven door zijn afstand x tot het beginpunt.
Voegt men nu de punten van de tweede lijn zoodanig aan die
van de eerste toe, die met ieder punt x correspondeert een punt X
van de tweede lijn, terwijl
waarbij bi a2 b2 transformatie-constanten zijn, dan zegt men,
dat de punten van de eerste lijn projectief op de punten van de
tweede lijn zijn afgebeeld.
Omgekeerd blijkt
a/ X -f- V N
a2'X b2' {ia)
De afbeelding van de punten van de tweede lijn op die van
de eerste is van gelijken aard. Bovendien blijkt dat bij één
punt van de eerste slechts één punt van de tweede behoort en
omgekeerd. De afbeelding heet daarom één-éénduidig.
Geeft men de transformatieconstanten, dan is bij elk punt zijn
beeldpunt te berekenen en te construeeren. Zijn de constanten
niet bekend, dan is de afbeelding volledig bepaald, als men van
3 punten op de eerste lijn de beeldpunten op de tweede lijn
geeft. Dan zijn n.l. 3 vergelijkingen (1) op te schrijven, waarin X
en x bekend zijn, terwijl aj bi a2 en b2 onbekend zijn. Bedenkt
men verder dat van deze vier grootheden één willekeurig kan
worden aangenomen, dan ziet men, dat de gegeven drie punten
de afbeelding volkomen bepalen.
Elimineert men uit de drie zooeven bedoelde vergelijkingen en
uit de algemeene vergelijking (1) de ai bi a2 b2 dan komt er:
X Xi X3 Xi x X| X3-X1
X X2 X3 X2 x x2 x3 x2
at x -j- bi
