Men elimineert k en vindt U en u aldus:
A B
A B
U A B
a b
b. De afbeelding van een plat vlak.
Gegeven zijn twee vlakken. In ieder vlak wordt een coördinaten
stelsel gekozen xoy en XOY. Een willekeurig punt in het eerste
vlak is bepaald door zijn coördinaten x en y. Voegt men nu
de punten van net tweede vlak zoodanig toe aan die van het
eerste, dat met een punt x y van het eerste vlak correspondeert
een punt XY van het tweede vlak, terwijl
jr a-i x -j- bi y -|- Ci ya2 x -f- b2 y -j- c2
a3 x -f b3 y c3 a3 x-j-b3 y-f c3
(waarbij weer a, b, c, transformatieconstanten zijn), dan zegt men,
dat het eerste vlak projectief op het tweede is afgebeeld.
Omgekeerd blijkt
aiX-)-b] Y-j-Cj a2'X-j-b2 Y-j-c2'
~a3'X b3'Y c3' ~a3'X b3'Y c3' W
De afbeelding van de punten van het tweede vlak op die van
het eerste blijkt van gelijken aard. Bovendien blijkt, dat bij één
punt van het eerste vlak slechts één punt van het tweede vlak
behoort en omgekeerd. De afbeelding is weer één-éénduidig.
Vervangt men in de vergelijking van een rechte in het eerste
vlak
Ax -f- By-)-C o
x en y door X en Y, dan verkrijgt men de betrekking tusschen
de coördinaten van de beeldpunten dier rechte. Na herleiding
komt er
A'X-f B'Y-f C'o
Een rechte gaat door deze afbeelding in een rechte over. Men
kan aantoonen, dat iedere afbeelding, die een willekeurige rechte
in een rechte doet overgaan, een projectieve transformatie is.
Bijzondere projectieve transformaties zijn dan de affiene, de gelijk
vormigheidstransformatie, en de bewegingstransformatie. ((3)
28
