34
c. De afbeelding van de ruimte.
Ook een ruimte kan projectief op een andere ruimte worden
afgebeeld. De formules daarvoor luiden als volgt:
X ai x bi y ci z -f di
a4 x -j— b4 y c4 z 1- d4
Y a2 x b2 y -|- c2 z -f- d2
a4 x -j- b4 y -j- c4 z -|- d4 b
2 a3 x b3 V c3 z d3
a4 x b4 y -j— c4 z -j— d4
Op geheel dezelfde wijze als te voren bewijst men:
Deze afbeelding is één-éénduidig.
Iedere rechte van de ééne ruimte gaat in een rechte van de
andere ruimte over.
Ieder plat vlak van de ééne ruimte wordt in de andere ruimte
als plat vlak afgebeeld.
Omgekeerd is iedere afbeelding, die een rechte in een rechte
transformeert een projectieve transformatie.
De dubbelverhouding van vier punten op een rechte gelegen
wordt door de afbeelding niet veranderd.
De formules (9) bevatten 16 constanten, waarvan 15 wezenlijke.
De transformatie is dus volkomen bepaald door 5 punten, waarvan
niet 3 op een rechte of 4 in een plat vlak zijn gelegen.
Ad'erkwaardige vlakken.
De afbeelding van het oneindig verre vlak van de ruimte x y z
in de ruimte X Y Z kan men b.v. vinden door een vlak te brengen
door de beelden van de oneindig verre punten van de x-as, de
y-as en de z-as. Wij duiden dit vlak aan door F. Evenzoo
zullen wij de afbeelding van het oneindig verre vlak van X Y Z
vinden; wij duiden het aan door f. Wij noemen de beide vlakken
vluchtvlakken.
De oneindig verre rechte van het vlak F ligt zoowel in dit
vlak als in het oneindig verre vlak van de ruimte X Y Z. Zij
wordt dus afgebeeld, zoowel in het oneindig verre vlak van de
ruimte x y z als in het vlak f. De vlakken evenwijdig met F
gaan alle door de oneindig verre rechte van F, hunne afbeel
dingen gaan dus alle door de oneindig verre rechte van f, dat
wil zeggen: vlakken evenwijdig met F worden afgebeeld als
vlakken evenwijdig met f.
