van een geheele lineaire betrekking tusschen Y, Z, y en z. De
afbeelding van een figuur, gelegen in een vlak loodrecht op de
hoofdas geschiedt dus affien.
Men weet, dat er bij de affiene afbeelding twee loodrecht op
elkaar staande richtingen zijn, die weer als loodrecht op elkaar
staande richtingen worden afgebeeld. De richtingen dezer lijnen
zijn voor alle vlakken evenwijdig met f dezelfde.
Men kan derhalve de vlakken gaande door deze richtingen
en de hoofdas als x y en x z vlak aannemen. Zij worden afge
beeld als X Y en X Z vlak.
Voor dit bijzondere coördinatenstelsel gelden dan de formules
a by c z
X Y Z Dol
Is perspectieve ligging van beide ruimten mogelijk?
Wanneer wij afzien van de toepassing van vierdimensionale
meetkunde, kan de oplossing alleen gevonden worden als de
ruimten in elkander kunnen worden geschoven, zooals op blz. 33
voor twee platte vlakken is aangetoond. Het snijvlak der beide
ruimten moet in zich zelf worden afgebeeld, en ieder punt van
dat vlak moet in zich zelf worden afgebeeld. Daar ook de lijn
op oneindig in zich zelf wordt afgebeeld, moet het snijvlak even
wijdig loopen met F en f. In perspectieve ligging loopen dus
de vlakken f en F evenwijdig, derhalve vallen de x en X assen
samen.
Daar in het snijvlak ieder punt in zich zelf wordt afgebeeld,
is de afbeelding in dit vlak congruent, wat alleen mogelijk is,
als in formule (10) b c gesteld wordt.
Wij vinden dus: Perspectieve ligging van projectieve ruimten
is in het algemeen niet mogelijk. Zij is'alleen mogelijk, wanneer
in de form. (10) b c is, met andere woorden: als de affiene
transformatie in de vlakken loodrecht op de hoofdas overgaat in
een gelijkvormigheidstransformatie. In dit geval is het maar op
één wijze mogelijk de perspectieve ligging tot stand te brengen.
Een projectieve afbeelding met de bier bedoelde eigenschap wordt
assen-symmetrisch genoemd.
Een lens of een gecentreerd lenzenstelsel beeldt aldus de z.g.
voorwerpruimte op de beeldruimte af.
Voorwerpruimte en beeldruimte zijn derhalve perspectief ten
36
X X X
