waaruit volgt:
<Pxïpy 611 Ó)y \px (4)
In deze beide vergelijkingen (de differentiaalvergelijkingen van
Riemann en Cauchy) ligt de door ons gezochte eigenschap
(welke conformiteit genoemd wordt, in navolging van Gauss)
opgesloten.
Deze formules geven direct het antwoord op de vraag, of een
zekere afbeelding, waarvan de betrekkingen tusschen de coördi
naten bekend zijn, conform is of niet.
bv.: u a, x -j- b, y -f c, v a2 x b2 y c2
heeft in het algemeen de gewenschte eigenschap niet, omdat:
cpx aj \py b2 cpy bi en px a2.
Daarentegen is
u x2 y2 v=:xy
een voorbeeld van een conforme afbeelding want
<px 2 X fa 2 X cpy 2 y fa 2 y.
De gevonden differentiaalvergelijkingen zijn evenwel niet direct
geschikt om daarmede de verschillende mogelijke gevoelen van
conforme afbeelding te overzien, en bepaalde aansluitingsmethoden
op te bouwen. Daarvoor is noodig dat zij geintegreerd worden.
Om betrekkingen tusschen de coördinaten zelve te vinden gaat
men aldus te werk. De conformiteit eischt, dat elementaire lijnen
uit P getrokken, alle dezelfde draaiing ondergaan en bovendien
dat deze lijntjes in de afbeelding alle met dezelfden factor worden
vermenigvuldigd.
In formule dus: 0' 0 -f- a. (5)
J/du2 dv2 - m Vdx2 -|- dy2
Wij kunnen nu de plaats van P en P' in de beide vlakken
volgens Gauss weergeven door een enkel complex getal, de
plaats van P door zp xp -j- iyp
van P' wp up -)- ivp.
De verbindingslijn van P naar een nabijgelegen punt Q wordt
dan naar grootte en richting gelijk aan:
dzp dxp -f idyp (6)
en van het daarmede correspondeerende beeld:
dwp dup idvp (6 a)
45
