Nu is en 0 het argument (de richtingshoek) resp. van dwp
en dzp terwijl 1/ du® -|- dv® en (/dx® -|- dy® de absolute waarden
voorstelt, resp. van dwp en dzp.
Het feit, dat de absolute waarden uit elkaar worden afgeleid
door vermenigvuldigen met een constante m en de argumenten
door vermeerderen met een bedrag geeft de betrekking:
dwp cdzp (7)
waarin c het complexe getal voorstelt met argument oc en abso
lute waarde m dus
c m (cos -j- i sin
c is constant rondom Pj in welke richting men ook de stralen
trekt. Het is evenwel niet noodig dat c om alle punten van het
vlak dezelfde waarde behoudt. Maar ook in die andere punten
mag c niet afhangen van de richting, waarin het punt wordt be
reikt. c mag dus slechts een functie zijn van de plaats, die het
punt in het vlak inneemt, dus van z.
Men heeft dus:
dz=f(Z) <8>
welke vergelijking na integratie levert:
w F (z). (9)
Wanneer men dus betrekkingen geeft tusschen x, y, u en v,
die te schrijven zijn als w F (z) dan is voor die punten, waarin
f (z) F' (z) een bepaalde waarde heeft, de conformiteit verzekerd.
Dit is niet het geval als F'(z) o of F' (z) go.
In deze singuliere punten der afbeelding wordt de gewenschte
eigenschap niet verkregen.
Uit u x2y2 v 2 xy volgt
w u iv x2 y2 -f- 2 xyi x2 -)-
(iy)2 2 xyi (x iy)2 z2
zoodat hier F (z) z2 is.
Deze afbeelding is conform behalve in het punt waar
F' (z) o dus 2z o of z o
en F' (z) 00 dus 2z 00 of z=cc.
Daar F (z) een willekeurige functie van z voorstelt is de con
formiteit op verschillende wijzen tot stand te brengen.
Men kiest voor F (z) een eenvoudige functie, omdat daardoor
niet alleen het rekenwerk wordt vereenvoudigd, maar ook omdat
46
