55
M®, M: sin2 8 -f 2 M2 sin 6 cos 8 M® cos2 8
of als we schrijven:
M* m2 Qy,y'
in verband met (23):
M®, m2 Qy'y' (Qxx sin2 0 4-2 Q*y cos 0 sin 8 4~ Qyy cos2 8) m2 (24)
Men kan nu langs y' een lijnstuk PC uitzetten gelijk aan My>.
Denken we ons dit voor alle waarden van hoek 8 gedaan, dan be
schrijft C een kromme, waarvan (24) de vergelijking is op pool
coördinaten: My, en 8.
Deze kromme is de voetpuntenkromme van de ellips:
x2 [aa] 2 xy [ab] 4- y2 [bb] m2 (25)
In figuur 8 is V een punt van de voetpuntenkromme. Dit punt
is verkregen door uit het middelpunt van de ellips de loodlijn neer
te laten op een raaklijn. De meetkundige plaats van V is de voet
puntenkromme. Laten we, om het verband van (24) en (25) te
bewijzen, uitgaan van vergelijking (25), die we gemakshalve zul
len schrijvenpx24-2qxy4-ry2 m2.
In een punt U van de ellips met coördinaten Xi en y1 wordt de
raaklijn getrokken. De vergelijking hiervan is:
x[(p xi 4- q yi) +,'y (q *i r yi) >2 (26)
De vergelijking van de loodlijn uit P hierop neergelaten is:
x (q xi 4- r yi) - y (p Xi 4- q y,0 (27)
Verder is omdat U een punt van de ellips is:
p X]2 4-2 q xi yi 4-r yi2 m2. (28)
Uit (26) en (27) zijn de coördinaten van V te berekenen als
functies van xx en y1. De meetkundige plaats van P is dan door
deze vergelijkingen in parametervorm, parameters en y1( ver
kregen. De parameters zijn dan gebonden door (28). Eliminatie
van de parameters tusschen (26), (27) en (28) levert als verge
lijking voor de meetkundige plaats op:
y2)2 m2 21*y Py'
pr q2
Of terugkeerende naar de oorspronkelijke notatie:
(X2 2)2 m2 [bb] x2 2 [ab] x y -|- [aa] y2
1 Y j [aa] [bb] - [ab]2
y x xy y
