5
De tweede factor is ongelijk nul, dus x en 3» zijn nul. Dit doet zich
dus slechts voor in 'het definitieve punt, immers we kozen dit punt
tot oorsprong.
We nemen nu aan (zie fig. 2), dat we in drie punten, Px, P2 en P3,
deze polygonen hebben geconstrueerd, de begin- en eindpunten met
elkaar verbonden en door een pijl aangegeven. De projecties van deze
vectoren op ieder tweetal onderling loodrechte assen geven de waarden
vóór het gelijkteken aan in de vergelijkingen (3) en (4), de normaal
vergelijkingen in elk punt voor die assen. Gevraagd wordt met behulp
van deze drie vectoren dat punt te construeren waar de vector nul is.
Er zijn verschillende oplossingen voor dit vraagstuk te bedenken; ik
geef de volgende.
Indien we de vector in P, projecteren op een rechte gaande door
Pi en tegelijk het assenstelsel zo om de oorsprong P draaien dat de
X-as evenwijdig komt te lopen aan de rechte, wat geschiedt er dan met
de projectie, als we P; langs de rechte verplaatsen? De projectie is
blijkens (3) een lineaire functie van x en y. Daar de rechte evenwijdig
aan de X-as loopt, is y constant en de aangroeiing van de projectie
dus evenredig met die van x. Dit blijft het geval als we scheefhoekig
projecteren, omdat dit slechts vermenigvuldiging met een constante
betekent.
Projecteer nu (fig. 2) de vectoren Px en P2 in de richting van P3
op de rechte P\Pi- Bij verplaatsing van Px naar P2 gaat de projectie
pi over in p2 en zal dus in het punt H nul passeren, indien PxHi
P>zH pxp2. Het punt H is dus te construeren. In H is de projectie
van de vector in de richting van de derde vector nul, dat betekent dat
de vector in H evenwijdig is met die in P3. De lengte van de vector
in H kan gevonden worden uit de andere componenten van de vecto
ren in Px en P2, px' en p2', door dezelfde evenredige verdeling van
het verschil van deze componenten. Bij de overgang van II naar P3
blijft de evenwijdigheid van de vectoren bestaan. Het definitieve punt
zal op deze lijn liggen en wel daar, waar de afstanden tot H en P3
zich verhouden als de lengten van de vectoren in deze punten.
De heer A. J. Leenhouts, opzichter Rijkswaterstaat te Groningen,
heeft deze methode gevonden met behulp van voorstellingen in de
ruimte: hij beschouwde het gebogen oppervlak z [ff], een para-
boloïde, en de afgeleiden, de normaalvergelijkingen, als raaklijnen. Ik
geef, hoe interessant dit ook is, de beredenering in de ons van ouds
bekende terminologie, ten eerste omdat daarin veel besloten ligt wat
reeds bewezen is en ten tweede omdat deze voorstellingen ingewikkelde
tekeningen zouden vereisen. Hij was tot zover gekomen en zocht nu
naar de foutenellips. Enige besprekingen die ik met hem had, leidden
tot oplossing van dit probleem en tevens tot aanzienlijke vereenvou
diging van de methode.
Zij P (fig. 3) het definitieve punt, dat we reeds vonden. We nemen
de X-as langs PPX en noemen de projecties van de vector in Px op
de X-as px en op de F-as px. Deze projecties zijn in waarde gelijk aan
de termen vóór het gelijkteken in de vergelijkingen (3) en (4) en
in Px is x PPX en y o. Substitutie in (3) en (4) geeft dus:
