168
richting als linkerbeen) heeft men nog een onbekende: de nulrichting.
Bedoelde driehoek is dus bepaald door vijf gegevens: twee hoeken en
drie nulrichtingen er is dus één overtollige waarneming en dus één
voorwaarde.
Waaiervergelijkingen kunnen bij richtingsmeting niet voorkomen,
omdat de in één punt gemeten hoeken (richtingen) alle onafhankelijk
van elkaar zijn.
Met fj, v2, v3 enz. als verbeteringen aan de hoeken, heeft een her
leide voorwaardevergelijking deze vorm
a,v1 a2v2 a3 v3 ta. (a)
Wordt hoek i gevormd door de richtingen p en q (dus L i q p)
en zullen aan deze richtingen resp. de verbeteringen Vp en vq worden
aangebracht, dan is Z i (q vj) (p i'p), dus
vq Vp. Substitueert men deze uitdrukking voor z\ en overeenkom
stige uitdrukkingen voor de andere v's in (a), dan wordt elke term
van (a) in twee termen gesplitst, waarvan de algebraische som der
coëfficiënten gelijk is aan nul. Hieruit volgt, dat de algebraïsche som
van alle coëfficiënten van de zo ontstane herleide voorwaardeverge
lijking in de verbeteringen der richtingen, gelijk is aan nul. Het feit,
dat men de termen waarin dezelfde v voorkomt (één richting kan
immers aan het vormen van meer dan één hoek meedoen) samenneemt,
doet aan deze eigenschap natuurlijk niets af.
Stelt men deze herleide voorwaardevergelijkingen voor door
"H a27'? "I" a3'V ~l~6x' lal
PlVP ~T ^2V1 ~t" $3Vr IPJ
enz.
en zijn p, q en r de richtingen gemeten in één punt, zodat Z I q p
en Z 2 r q, dan is v± vq Vp en v2 vr vt, en zal de
som aj vx a2 v2 uit het eerste lid van (a) overgaan in de eerste ver
gelijking van (b) als
a-,Vp a2r'7 a.3vr. waarin:
«j O], «o Ut a2 en a3 a2. De som van de coëfficiënten
behorende bij de verbeteringen van de in één punt gemeten richtingen is
dus eveneens gelijk aan nul. Volgens overeenkomstige afleidingen is
hetzelfde het geval met een ander aantal richtingen in één punt en
bovendien ook in alle andere vergelijkingen van (b).
Dit heeft nog een ander belangrijk gevolg als de richtingen met
gelijke gewichten zijn gemeten. Dan zijn immers de correlatenverge-
lijkingen
vp (Vp Yi^'y
vq a2X'a fV'p Ï2^y
vr a3Za 4- (33^p 4" Ys^'y
Telt men deze op, dan blijkt dus, omdat al 4- a2 a3 ^1 4-
P2 ^3 enz-> dat de som van de verbeteringen aan te brengen
aan de richtingen die in één punt zijn gemeten, eveneens gelijk is
aan nul.
