Nr. 5. Akademie-Verlag, Berlin, 1951. VIII 68 biz., 30 X 21 cm,
prijs DM 6.
De kern van deze zeer belangwekkende publicatie wordt gevormd
door een uit 1937 daterende verhandeling van Friedrich over het op
lossen van systemen van lineaire vergelijkingen. In de geodesie is het
belangrijkste voorbeeld het berekenen van de coëfficiënten in de onbe
paalde oplossing van normaalvergelijkingen bij vereffeningsproblemen.
Meer algemeen is dit vraagstuk bekend als het berekenen van de in
verse van een matrix van n X n elementen.
Met dit algemene vraagstuk hebben in de laatste tientallen jaren
talrijke eminente mathematici zich intensief beziggehouden. De op
lossingen zijn in het algemeen moeilijk en tijdrovend en eigenlijk pas
economisch uitvoerbaar geworden door inschakeling van de moderne
electronische rekenmachines. Gebruik wordt dan meestal gemaakt van
iteratiemethoden.
In de geodetische vereffeningsproblemen hebben we gelukkig te
maken met matrices waarin vele nul-elementen voorkomen men denke
aan de normaalvergelijkingen corresponderend met de driehoeksvoor-
waarden in driehoekskettingen. Dit maakt dat in vele gevallen speciale
op dit doel afgestemde rekenmethoden even goed of beter zijn dan de
standaardmethoden met behulp van electronische rekenmachines. Dit
„goed" of „beter" dan met het oog op de invloed van de onvermijde
lijke afrondingsfouten.
Is van de te inverteren matrix aik het element in rij i en kolom k
k 1, ndet(o"6 de determinant, A'* de minor (met teken)
van aik in det(aa' dan zijn de elementen (rij k, kolom t) van de in
verse matrix
Aik
«ik T77
det (a'k)
Zijn de determinanten in teller en noemer bekend, dan kunnen de
gevraagde elementen door deling gevonden worden. Bekend is uit de
literatuur de berekening van determinanten door ontwikkeling naar één
of meer rijen of kolommen. Friedrich geeft algemenere ontwikkelings
methoden aan, die echter alleen eenvoudiger zijn als talrijke elementen
aiki nul zijn en ook als geldt aik ~aki. In zijn ontwikkelings
formules treden hoofdminoren op met graad m n, die dus eenvou
diger te berekenen zijn, terwijl de afrondingsfouten minder afhanke
lijk worden van de volgorde van ontwikkeling.
Jenne geeft in de tweede verhandeling tabellen voor de waarde van
de determinant van bepaalde matrices van m X m elementen tot
m 10, waarmee dan volgens de formules van Friedrich de waarde
van een determinant van hogere graad berekend kan worden. De ge
kozen matrices hebben betrekking op de vereffening op driehoeksvoor-
waarden van veel voorkomende netvormen. Zo gezien berust dus de
methode op het vereffenen van partiële systemen en het daarna samen
voegen dezer systemen.
Bij nadere bestudering van de waarden van hoofdminoren van een
bepaalde symmetrische n X «-matrix van graad m, m achtereenvolgens
