214
vectorproduct, de differentiatie van vectoren en tot besluit de formules
voor de snelheden van de vectoren van een bewegend driebeen. Hoofd
stuk T bevat een korte theorie der ruimtekrommen, waarin de formules
van Frenet en Serret natuurlijk worden geïnterpreteerd als de verge
lijkingen voor de draaiing van het klassieke begeleidende driebeen van
de kromme (vectoren langs raaklijn, hoofdnormaal en binormaal).
In hoofdstuk II wordt in aardige afwijking van de gebruikelijke behan
deling het begeleidend driebeen w,, w2, w3 ingevoerd van een kromme
op een oppervlak (w, langs de raaklijn, w3 langs de normaal van het
oppervlak). Dit biedt een goede gelegenheid voor de invoering van de
begrippen normale kromming, geodetische torsie en geodetische krom
ming. Zoals bekend zijn de waarden der eerste twee grootheden in een
punt P van een kromme op een oppervlak volkomen bepaald door de
richting van de krommemet de derde grootheid is dit niet het geval.
[De auteur maakt dit alles niet voldoende duidelijk: op p. 45 zou
moeten worden ingevoegd de opmerking dat w3' volkomen bepaald is
door w1( w2 en w3 daar w3' aL,w,zijn aj en o2 door het
driebeen, dus door de richting van de kromme in P, geheel bepaald
hetgeen te bewijzen was.] Op eenvoudige wijze worden nu de stelling
van Meusnier en de formule van Bonnet afgeleidde laatste verge
lijkt de draaiing om de raaklijn van het osculatievlak van de kromme
en het raakvlak aan het oppervlak. Onderaan p. 49 en bovenaan
p. 50 zijn enige storende foutjes op te merken, o.a. in formule (7.17)
en in de formulering van het resultaat van Bonnet.]
Hoofdstuk III bevat de algemene theorie der oppervlakken: de twee
fundamentele vormen, metriek op het oppervlak, kromming, „theorema
egregium", sferische afbeelding. [In de afleiding op p. 61 ontbreken
in de uitdrukking voor tf2x de termen met d2n en d2vop de uitkom
sten heeft dit geen invloed.] In hoofdstuk IV worden de volgende
soorten speciale krommen op een oppervlak kort behandeldkromte-
lijnen, asymptotische lijnen, minimaalkrommen. Ook worden hier iso-
metrische (isotherme) parameterkrommen besproken; jammer genoeg
Wordt op de toepassing bij de conforme afbeelding niet ingegaan. Heel
in het kort wordt in hoofdstuk V de zogenaamde natuurlijke meetkunde
van een oppervlak aangesneden.
Hoofdstuk VI is gewijd aan de geodetische lijnen. Verschillende
vormen van de differentiaalvergelijking worden afgeleid, de geodeti
sche vorm van het lijnelement wordt besproken en tot slot wordt de
parametertransformatie op geodetische poolcoördinaten behandeld.
Deze transformatie wordt voor de practijk uitgewerkt met behulp van
reeksontwikkelingen. [Men mist in dit hoofdstuk een behandeling
van het verband tussen de geodetische lijnen en het probleem van de
kortste verbindingen over het oppervlak. In plaats daarvan heeft de
auteur reeds in hoofdstuk II een beschouwing gegeven over deze
kwestie met behulp van variatierekening, een beschouwing die eigen
lijk niet past binnen het kader van dit boek. Men mist voorts in hoofd
stuk VT de opmerking, dat de geodetische lijnen op omwentelingsopper
vlakken door kwadraturen gevonden kunnen worden.]
