222
De vorm onder het wortelteken kan geschreven worden als
R2(D'2—DD") R(ED"2FD' GD) (F2EG) (10)
en de discriminant van deze vorm weer als
(ED"—2FD' GD)2 4(F2—EG)(D'2—DD")
ED"—GD—~j(ED'—FD)2 -^-2 (EGF2) (ED'FD)2. (n)
Nu is EGF2 n2 (Qxxöyy öjry2 1 ofwel de kwadra
tische vorm (10) kan steeds ontbonden worden in twee reële factoren,
uitgezonderd wanneer ED" GD o en ED' FD o.
Dit laatste geval treedt op als dus met (6)
o en
ofwel
n Qxx nQyy
[<3xx'] [öyy'l
h Qxx Qxy Qyy
n Qxx 11 Qxy
IQxx' 1 [Qxy'}
o
[Qxx'] [Qxy1} [Öyy'l
waarmee uit (5) volgt: crr 2 constant (voor alle waarden van 0). Dit
geval doet zich voor bij een Snelliuspunt met alleen achterwaartse of
voorwaartse richtingen (of beide) als de gegeven punten liggen in de
hoekpunten van een regelmatige M-hoek, met het te bepalen punt in het
zwaartepunt. Dan is nl.QXX QYY, [Qxx'] [öyy'l; Qxy [Qxy']
o, zodat aan de bovenstaande voorwaarde voldaan is.
In het algemeen zal dus de gelijk nul gestelde vorm (10)
R2(D'2—DD") R(ED"—2FD' GD) {F2—EG) o (12)
wegens het positief zijn van de discriminant twee reële wortels R1 en
R2 hebben.
ƒ72p Q CQƒ72
Daar (4): R1 R2 - D>s_Djy Djr_D^>°- hebben R1 en R2
dus hetzelfde teken.
De ontbinding van (10) kan nu geschreven worden als
(13)
Reële waarden voor p worden slechts verkregen als de vorm onder het
wortelteken in (9) positief is. Nemen we aan dat Rj R2 is, dan
volgt uit (13), dat dit het geval is als
R2 g R g R1(14)
zodat R gelegen is tussen Rx als maximum- en R2 als minimum
waarde.
