319
lom Zv, tenslotte alle eenzelfde quotient te zien gevendit getal is dan
de grootste eigenwaarde van de gegeven matrix A. Omdat er intussen
een groot aantal kolommen nodig is om de gelijkheid van deze quo
tiënten te verkrijgen, wordt deze bewerking te omslachtig. Toch zijn
ter illustratie van 'deze methode achter kolom Z1S de resultaten vermeld,
die uit deze en de daaraan voorafgaande kolom met dit deelrecept te
voorschijn komen. De grootste eigenwaarde is daaruit nog niet scherp
te bepalen; hij blijkt ruw geschat 13,5 te zijn. Wordt dezelfde be
werking een tiental stappen (kolommen) verder herhaald, dan kan de
grootste eigenwaarde nauwkeuriger op 13,45 worden vastgesteld.
Het is evenwel mogelijk deze grootste eigenwaarde even nauwkeurig
uit de kolommen Z17 en Z7g af te leiden.
Deze meer economische methode bestaat hierin, dat men de produc
tensom van de overeenkomstige elementen van de kolommen Zv en
Z\>+1 deelt door de kwadratensom van de elementen van Zv. Het aldus
gevormde quotient benadert bij het toenemen van v steeds beter de
grootste eigenwaarde van de matrix. In formulevorm is dit quotient
van Rayleigh te schrijvenlim 1
Zoveel te hoger het rangnummer van de gebruikte kolommen is, des
te beter benadert men op deze wijze de grootste eigenwaarde; alleen
moet worden opgemerkt, dat men steeds een onderste grens voor \1
verkrijgt.
In de praktijk komt de zaak dus hierop neer: zodra men de indruk
heeft dat de quotiënten van overeenkomstige elementen van twee buur-
kolommen niet te veel uiteenlopen, gaat men het quotient van Rayleigh
bepalen. Daarna berekent men de volgende kolom en het naasthogere
quotient van Rayleigh. Liggen de twee gevonden quotiënten niet te veel
uiteen, dan kan men het grootste, eventueel een iets hogere waarde, als
grootste eigenwaarde van de matrix A aannemenbij een te groot
onderling verschil dient men nog enige Z-kolommen te bepalen.
Deze werkwijze, toegepast op de kolommen Z16 en Z17, gaf als
resultaat 13,431het quotient van Rayleigh uit Z17 en Z18 was
13,441. Hieruit is de grootste eigenwaarde veilig op 13,45 vast te stellen.
De convergentie was zo gunstig, dat gemiddeld met de berekening
van Z18 kon worden volstaan. Indien de convergentie langzaam zou
verlopen, zodat er een veel groter aantal kolommen moesten worden
berekend alvorens men met succes de quotiënten van Rayleigh zou
kunnen gebruiken, zou men ertoe kunnen overgaan het proces van de
kolommenberekening te versnellen, door uit de matrix A achtereenvol
gens door kwadratering te berekenen A2, Ai, A8, enz. Zoals uit de
som van de elementen der rijen uit matrix A achtereenvolgens de ele
menten van kolom Zx ontstaan, vindt men uit de rij-sommen van matrix
At' de kolom Zv. Het product A X Zv geeft op de gewone wijze kolom
Zp i, enz.
De tweede macht van de symmetrische matrix A, die n X n elementen
bevat, levert wederom een symmetrische matrix, bestaande uit n X n
elementen
2j Zv Zv
