216
Beschouwen wij daartoe figuur 4, waarin de transversalen thans
bisectrices moeten voorstellen. Noemen wij de zijden en hoeken van
dien driehoek als volgt
02 O3 a Z O3 Ox O2 A
03 Oi b Z O, 02 03 B
01 02 c Z 02 03 Ö1 C.
De bisectrices bezitten de navolgende meetkundige eigenschappen
01 P3 02 P3 Oi O3 02 03 b a
a d
02 P, O3 Px 02 Ox O3 O, c b -k
b c
03 P2 Oj_ P2 O3 O2 Oi O2 a c
c a
Met toepassing van de betrekkingen (2), (3) en (4) vinden wij
gi g2 a b
g"2 gs b c
g3 gi c a
of wel
gig2 gs a b c (7)
waarmede de barycentrische coördinaten gevonden zijn.
Aangezien de zijden van een driehoek zich tot elkander verhouden
als de sinussen der overstaande hoeken, kunnen de barycentrische
coördinaten ook als volgt worden geschreven
gi g2 g3 sin A sin B sin C (8)
Om de rechthoekige coördinaten van het middelpunt van den
ingeschreven cirkel te vinden heeft men slechts de formules (5) en
(6) te bezigen, en voor gt g2 en g3 (naar verkiezing) de waarden
te substitueeren, welke in (7) of (8) zijn verkregen.
Ook t.a.v. andere merkwaardige punten van den driehoek (mid
delpunt omgeschreven cirkel, zwaartepunt, hoogtepunt, enz.) kan een
soortgelijke berekening worden verricht. Dergelijke berekeningen
(,,barycentrisch rekenen" genaamd) vereischcn een zekere mate van
routine, gepaard gaande met wiskundige intuïtie. Ten einde den be
langstellenden lezers, die zich hierin willen verdiepen, contrölemateriaal
aan de hand te doen, laten wij hieronder eenige resultaten volgen.
Men heeft voor het
middelpunt van den
omgeschreven cirkel gi g2 g3 sin 2A sin 2B sin 2C
zwaartepunt id. =1:1:1
hoogtepunt id. tang A tang B tang C
