PPPERYLAETEFOBLinJLES
De oppervlakteformules uit rechthoekige coördinaten worden
veelal "bewezen met behulp van hulplijnen, door de hoekpunten
van den veelhoek evenwijdig aan een der assen getrokken, waar
door de oppervlakte gevonden wordt uit som en verschil van
een aantal rechthoekige trapezia.
Bij deze wijze van betoogen is men sterk afhankelijk van de fi
guur, waarvan men uitgaat. Wij zullen er ons meer los van ma
ken en trachten een algemeene afleiding te geven.
Omdat elke veelhoek in driehoeken kan worden verdeeld, zal
de afleiding van de oppervlakteformules van den driehoek van
fundamenteel belang zijn.
We gaan uit van x>ooicoör
dinaten Zie figuur 1.
0 is de pool; OY de pool-
as. Twee punten P^ en
worden met de pool verbon
den. De azimuths van de
voerstralen OP^ en Olg zijp
achtereenvolgens <fen
de lengten OP^ p^ en
°P2= p2-
Kort en goed: van punten en Pg zijn de poolcoördinaten
(Pi en P2 ^p2
AOmdat blijkbaar Ap^OPg=Pg-^, is de dubbele oppervlakte van
2 0 p1p2 sin(^g-^i)
(I)
Deze uitkomst is positief in het geval dat (zooals de fi
guur inderdaad laat zien) echter 9?9<^, dan wordt
de uitkomst negatief, omdat immers sin<X -sin(-cx)
Zouden in figuur 1 de punten P^ en Pg worden verwisseld,
vonden we met formule (i) een negatieve uitkomst.
We kunnen dit zoo uitdrukken: Bij berekening vanAp^PgO
coördinaten vinden we een positieve of negatieve uitkomst
voor de oppervlakte, naarmate de omtrekspunten in de rich
ting waarin de wijzers van een uurwerk zich bewegen, worden
doorloopen, dan wel een tegengestelde omloopszin wordt ge
volgd. In het eerste geval spreken we van een positieven, in
dan
uit
Tt laatste van een negatieven omloopszin.
