Zie fig. 2. Gegevende
grote as AB 2a en de
kleine as CD 2b.
Te construerende ellips e
ConstructieOp een strookje
papier zetten we de afstanden
EP a (halve lange as) en
PF b (halve korte as) uit.
We laten E langs de y-as
glijden en F langs de x-as
in de richtingen, zoals die
in de figuur door pijltjes
zijn aangegeven en plaatsen
telkens bij P een stipje. Op
deze wijze ontstaat het ge
deelte van de ellips, dat ge
legen is in het eerste kwa
drant. We herhalen de be
werkingen voor de overige
kwadranten. Het bewijs is
eenvoudig. Laat uit P de loodlijnen PG en PH neer op de assen;
dat zijn dus achtereenvolgens de x en de y van het punt P.
Stel L EPG Z_ EFO 9?. Gemakkelijk vinden we:
x x2
cos (p of na kwadrateren -5 cos2 99,
a a
y y2
(- sin 99 of na kwadrateren sin2 99,
b b2
waaruit na optelling volgt: -f- p 1. Dit is de vergelijking
van de ellips, waarvan de assen 2a en 2b samenvallen met x- en
y-as. P is dus een punt van de gevraagde ellips.
Het zal de lezer nu wel duidelijk zijn waarom we de voorkeur
geven aan de papierstrookconstructie. Deze is immers met een
minimum aan gereedschap snel en vrij zuiver uit te voeren. Als
de tekening voltooid is staat er een ellips op het papier en niets
meer; geen warnet van lijnen en cirkels die nodig waren voor
het construeren, hetgeen bij andere methoden doorgaans wel het
geval is. De ellipsograaf, een instrument waarmee men ellipsen
kan tekenen, werkt volgens hetzelfde beginsel. De methode is reeds
vermeld door PROCLES (412—485 na Chr.) in een commentaar op
de Elementen van EUCLIDES.
Nu zal de constructie van een ellips waarvan de assen gegeven
zijn bij de grafische vereffening weinig voorkomen. In het een
voudigste geval beschikt men daar over twee toegevoegde middel
lijnen. Men zou nu in de verleiding kunnen komen de halve
middellijnen op een strookje papier uit te zetten en dit langs
210
X y2
M
Fig. 2. Papierstrookconstr. bij gegeven assen.
