y2
leiden is tot 1, de middelpuntsvergelijking van de
a~ d
ellips met assen 2a en 2b, een resultaat dat ook te voorschijn komt
bij het met behulp van analytische meetkunde gevoerde bewijs,
waartoe fig. 4 aan een nadere beschouwing zal worden onder
worpen.
Bij dit bewijs worden de coör
dinaten van het door de ellipso-
graaf beschreven punt E langs
directe weg berekend.
Stel AB BD y2 (a b),
BE y2 (a b). (Waarom
juist deze waarden? Figuur 3
geeft op deze vraag het ant
woord: AB BE a. AB
BE b. Optelling en aftrekking
van deze betrekkingen levert bo
vengenoemde waarden voor AB
Fig. 4 en BD.)
Stel het argument van AB xp> Dan is XB x/i (a b) sin V
en Yb Yi (a b) cos xp. XD 2 XB (a b) sin xp.
Omdat men bovendien de verhouding kent tussen BE en BD,
nl. (a b) (a b), geeft een kleine berekening nu de coör
dinaten van E:
XE a sin xp, YE b cos xp.
De door E beschreven kromme is dus bepaald door de betrek
kingen X a sin xp, Y b cos xp, die met elkaar in verband
staan door de veranderlijke xp, die parameter wordt genoemd.
De uitdrukkingen voor X en Y heten samen de parametervergelij
king van de kromme, in dit geval de ellips.
Omdat sin2 xp cos2 xp 1, ziet men ogenblikkelijk dat de
parametervergelijking na eliminatie van xp overgaat in -f-
a~ b
1, de middelpuntsvergelijking van de door E beschreven ellips.
Aan weerszijden van de oorsprong liggen de halve hoofdassen
a langs de X-as, de halve nevenassen b langs de Y-as.
Zoals steeds bij mechanische voortbrenging van krommen het
geval is, kan met beschouwingen van de kinematica ook eenvoudig
worden beredeneerd dat de beschreven kromme hier een ellips
moet zijn.
Ook zonder nu direct het beschreven instrument te (doen) ver
vaardigen, kan men met Van Schootens beschouwingen zijn voor
deel doen. Zonder moeite is immers uit het voorgaande een handige
papierstrookconstructie voor de ellips af te leiden, een constructie
die niet onderdoet voor de bekende strookconstructie langs rechte
assen die al meer dan duizend jaar eerder bekend was.
14
X$! y2
