Opgaven mei landmeetkundige inslag
Opgave LIV*
De laatste opgave in de vorige jaargang was van eenvoudige
aard. Dit had tot resultaat dat enkele inzenders lieten merken dat
zij liever wat pittigers kregen opgediend, maar ook dat enkele van
onze nieuwe abonnees zich meteen al bij de inzenders hebben ge
voegd. Dat doet ons genoegen en wij hopen dat zij en nog vele
anderen tot de regelmatige deelnemers aan deze rubriek zullen
gaan behoren.
Bij de ontvangen oplossingen is er een die moest worden afge
keurd. Had de inzender met de verkregen uitkomsten de opper
vlakte van de vier onderdelen van het bouwterrein berekend, dan
had hij moeten bemerken dat er met zijn oplossing iets niet in orde
was. Veel inzenders, al is hun oplossing goed, hebben verzuimd
die eenvoudige controle met behulp van de oppervlakte van de
onderdelen te vermelden of misschien zelfs uit te voeren.
Nu de oplossing zelf. Allereerst geven wij die van de inzender
van de opgave. W. van Keppel toont eerst meetkundig aan dat S
ligt op diagonaal BD. Hij doet dit als volgt:
opp. A DES opp. A DGS
opp. A SHB opp. A SFB
opp. parr. AHSE moet opp. parr. SFCG zijn
opp. vierh. ABSD opp. vierh. DCBS ]/i °PP- Pa^m. ABCD.
Echter is ook
opp. A ABD opp. A CBD <=4 y2 opp. parm. ABCD.
Hieruit volgt: BSD is een rechte lijn. Bij gelijke oppervlakte van
de parallelogrammen AHSE en SFCG ligt het punt S dus altijd
op de diagonaal BD, onafhankelijk van de verhouding van de
oppervlakte van de parallelogrammen ESGD en HBFS.
A ESD A HBS en opp. A ESD: opp. A HBS 1:2.
Als we nu ES a stellen, dan kunnen we de volgende vierkants
vergelijking opstellen
a2 (100—a)2 =1:2.
Hieruit volgt a 41,421 (de andere wortel voldoet niet). Uit
de gelijkvormigheid van de driehoeken ESD en ABD berekenen
we dan nog DL 20,711.
Deze wijze van handelen is door geen der oplossers gevolgd.
Zij hebben allen gesteld DG x en DL y. Uit de betrekking
x (50y) y (100x) volgt x 2 y. Gecombineerd met de
andere betrekking 2 xy (100x) (50y) geeft dit een vier
kantsvergelijking in x of y, waaruit volgt x 41,421 en y
20,711.
Geen der inzenders heeft bij de betrekking x 2 y de opmer-
24
