Om een eenvoudiger gedaante te verkrijgen, is het gewenst een
kleine herleiding toe te passen,
y'(x c)2 2a
Door te kwadrateren en tenslotte te delen door 4 verkrijgt men
a3 cx—a V (x c)3 y3.
Nogmaals gekwadrateerd leidt dit tot
(a2 c2) x2 a2y2 a2 fa2 c2
Noemt men nu a2 c2 b2f dan wordt de vergelijking van de
ellips uit figuur 1
b2x2 a2y2 a2b2 of 4~ 1-
Stelt men hierin x 0, dan blijkt y dz b; uit y 0 volgt
De ellips snijdt de y-as dus in de punten B± en fi2, die zodanig
zijn gelegen, dat B20 OB± ben de x-as in de punten A1
en A2, met A20 OA± a.
B2Bx heet de korte, A2A± de lange as van de ellips.
Wat blijkt direct uit de ellipsvergelijking in de vorm die tenslotte
werd bereikt? Dat de ellips symmetrisch is ten opzichte van de
coördinatenassen: vervanging van x door x of y doory brengt
generlei wijziging in de vergelijking van de ellips teweeg.
Omdat de y-as als middelloodlijn van F2F1 is gekozen, liggen
niet alleen de brandpunten symmetrisch van de y-as, maar zal ook
voor het punt B1 van de meetkundige plaats, op de y-as gelegen,
gelden: BXF2 B^F^ Volgens de definitie uit de eerste zin is
B1F2 B1F1 2a; wegens de pas geconstateerde gelijkheid van
de termen uit het linkerlid blijkt fiiF2 B1F1 a, zodat nu is
bewezen dat bijv. BtF2 A2Ó halve lange as van de ellips.
De stelling van Pythagoras, toegepast op de rechthoekige
toont ook aan, welke betrekking er bestaat tussen de constanten
a, b en c: elk van deze waarden stelt de lengte voor van een van
de zijden in deze driehoek. Vandaar dat a2 c2 fc2.
Uit de eindvergelijking van de ellips is nog meer af te lezen.
Reële waarden van x en y sluiten de mogelijkheid uit, dat x>a.
x3 y3
Dan zou immers -f> 1maar dientengevolge 0, zodat y geen
a b
reële waarden zou kunnen hebben. Op dezelfde gronden mag y
niet groter zijn dan h. Gevolg: de ellips ligt besloten in een recht
hoek, waarvan de zijden door de punten A1# A2 en B^, B2 even
wijdig lopen aan de coördinatenassen.
Om de vergelijking te vinden van de raaklijn in punt P (xx, y^)
179
x z=z zb a.
