Opgaven mei landmeetkundige inslag
Opgave LXVI
Het ovaalvormige wandelpark heeft verschillende van onze lezers
aan het rekenen gezet, en meestal met goede resultaten. Alleen zijn
er enkelen geweest, die meenden, dat van de twee oplossingen van
de vierkantsvergelijking er slechts één een bruikbare uitkomst geeft.
Hierin zijn zij abuis, beide wortels geven positieve waarden voor
de assen. De instantie die opdracht geeft voor de aanleg van het
park, zal moeten beslissen, welke van de twee mogelijkheden zal
worden uitgevoerd.
Aan de hand van de binnengekomen oplossingen is nog wel iets
te vertellen over deze betrekkelijk eenvoudige opgave. De meeste
inzenders hebben de halve assen voorgesteld door: 6x en 5x.
Wegens de symmetrische vorm van de figuur liggen de middel
punten van de cirkelbogen op de rechten AB en CD. De middel
punten van de cirkelbogen HAE en ECF zijn respectievelijk M en
N, terwijl O het snijpunt is van AB en CD. De rechthoekige drie
hoek MNO geeft ons de volgende betrekking:
(6x 300)2 (500 52002.
Na uitwerking volgt hieruit een vierkantsvergelijking. Met het
oog op het vermenigvuldigen met 12 resp. 10 voor het bepalen van
de lengten van de assen, maar nog meer voor het berekenen van
OMN a in decimilligraden, is het gewenst Jt vast te stellen
in minstens zes geldende cijfers.
Enkele inzenders hebben in plaats van meteen op bovengenoemde
ON
vierkantsvergelijking aan te sturen, gebruik gemaakt van sin a
cos a en sin2a cos2a 1. Zij komen tot de zelfde ver-
MN
gelijking.
Er is echter wel een andere, meer echt goniometrische methode.
Stel OMN aDan volgt uit OA 300 200 cos a, OC
500 sin a en de gegeven verhouding voor de assen
5(300 200 cosa) 6(500 200 sin a).
Uitwerking en vereenvoudiging van deze vergelijking leidt tot de
goniometrische vergelijking
10 cos a 12 sin a 15.
Hoe lossen we deze op? We vervangen de vergelijking door
waarin tg cpi= Deze vergelijking schrijven we nu als volgt:
145
4- - 15
tg op cos a sin a
